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ensemble ouvert fermé borné compact

Posté par
HighSchool2005 07-05-07 à 11:01

Bonjour,

Soit E = \{(x,y) \in R^2 | x^2 + y^2 - x <= 0 et x^2 + y^2 - x <=1 \}
Est-il ouvert, fermé, borné, compact ?
La correction dit qu'il est fermé, borné compact mais il n'est pas ouvert.

1) d'abord, je ne comprends pas pourquoi on a mis la deuxième inégalité : à quoi sert-elle ? : x^2 + y^2 - x <=1
Il n'est pas ouvert car (1,0) \in E mais \exists \epsilon > 0: (1, \epsilon) \not{\in} E (il ne vérifie pas la première inégalité)(je ne suis pas tout à fait sûre ici)
Il est fermé car f(x,y) = x^2 + y^2 - x est continue et ]- \infty, 0] est fermé et l'image réciproque d'un fermé par une application continue est fermé.

Mon problème majeur est de montrer qu'il est borné. Et aussi borné par quoi ?
Comment voir qu'un ensemble est borné ? Avez-vous une technique particulière dans ce cas ?

Merci pour votre aide, ile des maths !

Posté par
H_aldnoerre : ensemble ouvert fermé borné compact 07-05-07 à 11:28

Salut,

x^2+y^2-x=x^2-x+y^2=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}+y^2\le 0.
donc : (x-\frac{1}{2})^2+y^2\le\frac{1}{4}

On choisit la norme :
||(x,y)||=\sqrt{(x-\frac{1}{2})^2+y^2} et on obtient ||(x,y)||^2\le\frac{1}{4}, c'est donc borné pour cette norme.

Maintenant reste à montrer que ||(x,y)||=\sqrt{(x-\frac{1}{2})^2+y^2} est une norme.
Voila ce que j'aurai fait, mais je suis pas sur !

Posté par
ottore : ensemble ouvert fermé borné compact 07-05-07 à 11:34

Salut,
ce n'est pas une norme puisque ||(1/2,0)||=0

Posté par
H_aldnoerre : ensemble ouvert fermé borné compact 07-05-07 à 11:36

ah effectivement ...
faut prendre une autre norme alors ?

Posté par
ottore : ensemble ouvert fermé borné compact 07-05-07 à 11:39

Mais c'est l'équation d'un disque que l'on a, non?

Posté par
H_aldnoerre : ensemble ouvert fermé borné compact 07-05-07 à 11:47

un disque de centre (\frac{1}{2},0) et de rayon \frac{1}{2} apparement.

Posté par
ottore : ensemble ouvert fermé borné compact 07-05-07 à 11:50

Donc c'est clairement fermé borné, non ?

Posté par
H_aldnoerre : ensemble ouvert fermé borné compact 07-05-07 à 11:56

oui!

Posté par
HighSchool2005re : ensemble ouvert fermé borné compact 07-05-07 à 13:42

merci !

Posté par
HighSchool2005re : ensemble ouvert fermé borné compact 07-05-07 à 13:49

mais la deuxième inégalité, elle sert à rien ?

Posté par
freniclere : ensemble ouvert fermé borné compact 07-05-07 à 15:19

Bonjour,
Tu es sûr de ton énoncé ? Ce ne serait pas plutôt >= dans la première inégalité, auquel cas on aurait un anneau (et la deuxième inégalité servirait à quelque chose).

Cordialement
Frenicle

Posté par
ottore : ensemble ouvert fermé borné compact 07-05-07 à 15:19

Ca aurait quand même plus de sens effectivement.

Cela étant, peu importe le domaine, l'idée générale est ce qui compte le plus.

Posté par
HighSchool2005re : ensemble ouvert fermé borné compact 07-05-07 à 16:11

je suis sure de mon énoncé, c'est pour ça que ça me paraissait bizarre. Mais comme mon prof joue avec le copier-coller, il y a surement une erreur.

Par contre, Frenicle, tu soulèves un problème qui m'intéresse.
Si on a : E = \{ (x,y) \in E | x^2 + y^2 - x >= 0 et x^2 + y^2 - x <= 1 \}

D'après ce qu'à fait H_aldnoer, on a
0 <= x^2 + y^2 - x <= 1 \\ 0 <= (x - \frac{1}{2} )^2 - \frac{1}{4} + y^2 <= 1 \\ \frac{1}{4} <= (x - \frac{1}{2} )^2 + y^2 <= \frac{5}{4}
Donc dans ce cas, les points de E correspondent à un anneau de centre (\frac{1}{2} , 0) dont le petit cercle a pour rayon \frac{1}{2} et le grand cercle a pour rayon \frac{\sqrt{5}}{2}
C'est bien ça ?

Posté par
freniclere : ensemble ouvert fermé borné compact 07-05-07 à 16:27

Ben oui.


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