bonjour à tous,

Quelqu'un pourrait il m'éclairer au sujet des "ensemble" quotient s'il vous plait? De préférence (dans l'ordre d'importance) :

- exemples
- utilités
- définition

En fait j'ai la définition mais je ne la comprends pas trop, je ne voit pas le bout du tunnel...

Merci d'aavance à tous,

Amicalement,

Al Khwarizmi.

Exemple concret : E est l'ensemble des élèves d'un collège, R est la relation d'équivalence définie par  x R y  si x et y sont dans la même classe.

Le quotient de E par R est alors l'ensemble des classes du collège.

Soit R définie sur les entiers relatifs par : xRy si x et y ont même parité
Z/R a deux classes d'équivalence, les pairs et les impairs.
Une relation d'équivalence permet de partitionner un ensemble puisque les classes
d'équivalence sont disjointes et recouvrent tout l'ensemble. C'est donc
assez pratique, comme dans le cas ci-dessus, pour ranger les éléments.
En algèbre on quotiente souvent par un ensemble et non par une relation d'équivalence,
ex : Z/nZ, ce qui (suppose que l'on a une structure de groupe!) signifie qu'on a quotienté par R définie par : xRy <=> y-x appartient à nZ
Dans le cas précédent, cela deviendra : Z/2Z
Tu vois qu'on retrouve Z/R : il y a la classe de 0, les pairs, et la classe de 1, les impairs.
(2n)R(0) et (2n+1)R(1)

Bon courage

En algèbre on quotiente souvent par un ensemble et non par une relation d'équivalence

... attention à s'exprimer correctement à un novice : on quotiente toujours par une relation d'équivalence, le cas d'un groupe quotient est un cas spécifique pour lequel on utilise une notation spécifique.

...novice? entre nous, j'ai légèrement dépassé ce stade.

cependant j'aime beaucoup ton exemple stokastik, mais une autre question me vient à l'esprit:

Comment trouve - t - on ce qu'est l'ensemble quotion? je m'explique:

E est l'ensemble des droites d'un plan, R est la relation d'équivalence définie par  x R y  si x // y. l'ensemble quotient serait l'ensemble des directions de droites (n'est ce pas?) et comment sait on ca? est ce que l'ensemble quotient pourrait etre quelque chose d'autre?

Je ne suis pas sûr de bien te comprendre stokastik, si H est un sous-groupe de E qui n'est pas distingué dans E, E/H n'est pas un groupe, c'est juste un ensemble quotient, alors pour moi cette notation n'est pas une notation spécifique aux groupes quotient.

Jerk, n'embrouillons pas Al-khwarizmi. Tu as raison, c'est spécifique au quotient d'un groupe par un sous-groupe, voilà.

Al-khwarizmi, oui c'est bien ça. Par définition, il est clair que le quotient de l'ensemble des droites du plan par la relation // est l'ensemble de tous les ensembles de droites qui sont parallèles entre elles, donc des "directions" comme tu dis.

Bonjour à tous,

merci pour votre aide à tous, et à toi stokastik car tu as de très bonnes explications.

nous disions donc que l'ensemble quotient doit se déduire... Mais dans certains cas ce n'est pas très évident. J'ai certains exercices numériques où il faut vraiment avoir le sens de l'observation pour trouver la propriété de l'ensemble quotient.

il n'y a pas de secret, juste observer et déduire...?

exemple:
pour tout x,y appertenant aux réels, (x,y) appartient à la relation (R) ssi y-x appartient à Z

dans ce cas, quelle est l'ensemble quotient?

Bonjour,

L'ensemble quotient n'est-il pas constitué des ?

Nicolas

oui je pense que c'est bien ca mais je n'est pas mon cours là où je suis maintenant. Mais quelle serait alors la classe d'équivalence de 2,7?

Cl 2,7 = ....?

Nicolas je ne penses pas que la classe de 2,7 soit 2,7+ car si je fais -8,7-2,7 sa me donne -11,4 qui n'appartient pas à sa ne marche que pour 2,7++ je penses que la classe d'un element x est plutot s-E(x)+

je ne comprens pas très bien ce que veut dire quotienter un ensemble Apar un ensemble B j'aimerais avoir la definition concrète de l'ensemblle A/B genre {x\ x gsdjhsg}
Merci d'avance

Bonjour.

@ArcelDonas.

Comment avez-vous pris -8.7?

La classe de 2.7 est la même que celle de 0,7 (=2+0,7) et aussi la même que celle de -0,3 (-1+0,7) de même que celle de -8,3 (=-11+2,7). On peut choisir comme représentant de chaque classe  les nombres de l'intervalle .

-8.7 est lui dans la classe de 0,3 (=-9+0,3) en non dans celle de 0,7

ça c'était de la remontée, dis-donc, ArcelDonas ! presque sept ans après le dernier post !
si vraiment Nicolas s'était trompé, depuis le temps ça lui aurait été signalé, tu ne crois pas ?

Bonjour à tous