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ensemble T' d'un nombre complexe

Posté par
maus 27-09-09 à 08:59

Bonjours,
Mon exercice consiste à déterminer l'ensemble T' tels que :
\mid (\frac{2z-3+i}{z-4+i})\mid=2
Il faut le déterminer par le calcul et géométrique.

Je trouve que
   - géométriquement :
que l'ensemble recherché est un cercle de centre A d'"affixe z_{A}= \frac{3}{2}+i \frac{-1}{2}et de rayon [AB].
   - mais par le calcul je trouve pas cette réponse.

Pouvez vous m'aidez
merci d'avance.

Posté par
mausre : ensemble T' d'un nombre complexe 27-09-09 à 09:01

pardon je fais un erreur c'est :
l'ensemble doit être = 1

Posté par
cailloux Correcteurre : ensemble T' d'un nombre complexe 27-09-09 à 10:05

Bonjour,

On part donc de \left|\frac{2z-3+i}{z-4+i}\right|=1

Il semblerait que tu aies commis une erreur:

|2z-3+i|=|z-4+i|

On pose z=x+iy

|2x+2iy-3+i|^2=|x+iy-4+i|^2

|2x-3+i(2y+1)|^2=|x-4+i(y+1)|^2

(2x-3)^2+(2y+1)^2=(x-4)^2+(y+1)^2

Qui donne après développement:

x^2+y^2-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}y-\frac{7}{3}=0

Soit: \left(x-\frac{2}{3}\right)^2+\left(y+\frac{1}{3}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{26}}{3}\right)^2

Posté par
mausre : ensemble T' d'un nombre complexe 27-09-09 à 10:11

D'accord mais le probleme vient de le determiner graphiquement car je trouve que l'ensemble recherche est un cercle de centre A(3\2;-1\2) et de rayon AB. Peux tu m'aider a comprendre mon erreur dans l'interpretation geometrique.

Posté par
cailloux Correcteurre : ensemble T' d'un nombre complexe 27-09-09 à 10:21

Pour te signaler ton erreur dans l' interprétation géométrique, il faudrait que je voie ce que tu as fait...

Posté par
mausre : ensemble T' d'un nombre complexe 27-09-09 à 10:46

désolé donc voici l'interprétation géométrique :
\mid (\frac{2z-3+i}{z-4+i})\mid = 1
\Longleftrightarrow\mid (2z-3+i)\mid =\mid (z-4+i)\mid
\Longleftrightarrow2\mid (z-\frac{3}{2}+i\frac{1}{2})\mid =\mid (z-4+i)\mid
On pose le point A d'affixe z_{A}= \frac{3}{2}-i\frac{1}{2} et B d'affixe z_{B}= -4-i
Donc :
2\mid (z_{M}-z_{A})\mid =\mid (z_{M}-z_{B})\mid
\Longleftrightarrow2\mid (z_{\vec{AM}})\mid =\mid (z_{\vec{BM}})\mid
\Longleftrightarrow 2AM = BM

C'est là où je ne comprend plus peut tu m'aider

Posté par
cailloux Correcteurre : ensemble T' d'un nombre complexe 27-09-09 à 10:58

Oui, 2MA=MB et on continue:

4MA^2=MB^2

4\vec{MA}^2-\vec{MB}^2=0

(2\vec{MA}-\vec{MB})(2\vec{MA}+\vec{MB})=0

Soit G_1 le barycentre de \{(A,2);(B,-1)\}

et G_2 le barycentre de \{(A,2);(B,1)\}

On a donc: \vec{MG_1}.3\vec{MG_2}=0

soit \vec{MG_1}.\vec{MG_2}=0

Ce qui signifie que l' ensemble cherché est le cercle de diamètre [G_1G_2]

Tu peux vérifier à l' aide des complexes en calculant les affixes de G_1,\,G_2 et de leur milieu C et la distance G_1G_2...

Posté par
mausre : ensemble T' d'un nombre complexe 27-09-09 à 11:22

d'accord je n'avais jamais su qu'on pouvait faire de cette manière avec les barycentre.
Merci beaucoup cailloux

Posté par
cailloux Correcteurre : ensemble T' d'un nombre complexe 27-09-09 à 11:32

Mais de rien maus


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