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ensemble uniformément équicontinue et modules de continuité

Posté par
romu 30-07-07 à 01:52

Bonsoir, je cherche à montrer la proposition suivante:

Dire que E est uniformément équicontinue équivaut à dire qu'il existe un module de continuité \varphi commun à toutes les f de E.

Pour le sens indirect:

Pour toute f \in E, pour tous x,y \in E, on a d(f(x),f(y)) \leq \varphi(d(x,y)).

Par hypothèse, \lim_{n \rightarrow +\infty} \varphi(x) = 0.

Soient \varepsilon >0. Il existe \eta >0 tel que pour tous x,y \in E, d(f(x),f(y)) < \varepsilon.


Pour le sens direct, je pense procéder comme ceci (sans certitude):

Soit f \in E. Posons pour tout u \geq 0: \varphi_f(u) = \sup\ d(f(x),f(y)) pour tous les x, y \in E tels que d(x,y)\leq u.

Montrer que \varphi_f est un module de continuité de f.

On pose alors pour tout u \geq 0: \varphi_f(u) = \sup_{f \in E} \varphi_f(u).

Montrer que pour tout f \in E, f admet (ou n'admet pas) \varphi pour module de continuité.

Posté par
romure : ensemble uniformément équicontinue et modules de continuité 30-07-07 à 02:15

Pour montrer que pour tout f \in E, \varphi_f est un module de continuité de f:

Soient u,v \in [0,\infty] tel que u \leq v, on a \{d(f(x),f(y)):\ x,y \in E, d(x,y) \leq u \} \subset \{d(f(x),f(y):\ x,y \in E, d(x,y) \leq v \},

donc \varphi_f(u) \leq \varphi_f(v), autrement dit \varphi_f est croissante.

\varphi_f(0) = 0 (immédiat)

Soit \varepsilon>0, Il existe \eta >0 tel que pour tous x,y \in E[/tex], on a d(x,y) \leq \eta \Longrightarrow d(f(x),f(y)) < \varepsilon, donc u \leq \eta entraîne que \varphi_f(u) < \varepsilon.

Ensuite il est clair que d(f(x),f(y)) \leq \varphi_f(d(x,y)).


Pour montrer que pour tout f \in E, \varphi est un module de continuité de f:

Soient u,v \in [0,\infty] tel que u \leq v, pour tout f \in E, \varphi(u) \leq varphi(v), donc \sup_{f \in E}\ \varphi(u) \leq \sup_{f \in E}\ \varphi(v), donc \varphi(u) \leq \varphi(v), autrement dit \varphi est croissante.

\varphi(0) = 0 (immédiat)

Par contre je ne vois pas comment montrer la continuité (ou la non-continuité) de \varphi en 0.

Posté par
Cauchyre : ensemble uniformément équicontinue et modules de continuité 30-07-07 à 02:21

Salut,

c'est quoi un module de continuité?

Posté par
romure : ensemble uniformément équicontinue et modules de continuité 30-07-07 à 11:39

Salut Cauchy,


Soit f une application d'un espace métrique E dans un espace métrique [/tex]F[/tex].

Soit une application \varphi croissante de \overline{\mathbb{R}}_+ dans \overline{\mathbb{R}}_+ continue en 0, et telle que \varphi(0)=0.

On dit que f admet \varphi comme module de continuité si, pour tous x,y \in E, on a d(f(x),f(y)) \leq \varphi(d(x,y)).

Posté par
Cauchyre : ensemble uniformément équicontinue et modules de continuité 30-07-07 à 15:30

Salut,

ok je vois, par exemple si une application f admet la fonction x--->x comme module de continuité elle est 1-lipschitzienne.

Et si une fonction admet un module de continuité c'est qu'elle est uniformément continue?

Posté par
romure : ensemble uniformément équicontinue et modules de continuité 30-07-07 à 18:55

désolé un virus a terrassé mes machines

oui plus généralement,  si une application f admet la fonction x--->kx comme module de continuité elle est 1-lipschitzienne, je crois.

Et oui f est uniformément continue. Inversement pour toute f uniformément continue, on a le module de continuité \varphi_f défini tel que pour tout u \geq 0:
\varphi_f(u) = \sup\ d(f(x),f(y)) pour tous les x,y\in E tels que d(x,y)\leq u.

Posté par
romure : ensemble uniformément équicontinue et modules de continuité 30-07-07 à 21:35

Bon, je crois que j'ai réussi à montrer la continuité de \varphi en 0.

Soit \varepsilon>0. Comme E est uniformément équicontinue, il existe \eta >0 tel que pour toute f \in E, (d(x,y) < \eta) implique (d(f(x),f(y)) < \varepsilon),

ie pour toute f \in E, (u < \eta) implique (\varphi_f(u) < \varepsilon),

ie (d(x,y) < \eta) implique (\sup_{f \in E}\ \varphi_f(u) < \varepsilon).

D'où le résultat.

Posté par
Cauchyre : ensemble uniformément équicontinue et modules de continuité 31-07-07 à 03:08

Citation :
oui plus généralement,  si une application f admet la fonction x--->kx comme module de continuité elle est 1-lipschitzienne, je crois.


k-lipschitzienne tu voulais dire je suppose?

Merci pour la réciproque je me doutais bien de cela,c'est d'ailleurs ce que tu démontres dans ton deuxième post

Dans ton premier post pour le sens indirect juste des petites remarques c'est pas x,y dans E c'est les fonctions et la limite c'est plutot pour x-->0.

Même pour la suite t'as souvent confondu les 3$\phi_f et le 3$\phi que tu définis, ca rend un peu difficile à lire mais ca va j'ai compris

Par contre t'es pas cool d'avoir tout résolu j'ai pas pu réfléchir

Ca s'est arrangé avec ton virus?

Posté par
romure : ensemble uniformément équicontinue et modules de continuité 31-07-07 à 13:38

Désolé, j'étais un peu fatigué, c'est vrai que j'ai écris pas mal de bourdes.

Sinon, ça va le disparu a disparu

Posté par
Cauchyre : ensemble uniformément équicontinue et modules de continuité 31-07-07 à 22:56

Fautes de frappes ca va cela ne gêne pas trop la compréhension

Tu connais une situation où on utilise ces modules de continuité?

Posté par
romure : ensemble uniformément équicontinue et modules de continuité 01-08-07 à 14:47

Citation :
ça va le disparu a disparu


oulah, oui je voulais dire le virus a disparu


Pour les applications su module de continuité, j'ai pas vu grand chose.

Dans le cours, ils sont présentés dans le chapitre de la continuité uniforme qui peut s'exprimer en termes de modules de continuité.
Ensuite, l'auteur dit que les modules de continuité les plus utilisés sont ceux du type u \rightarrow ku^{\alpha} (\alpha>0), le cas \alpha = 1 fournit les applications lipschitziennes, et c'est comme ça qu'il entre en matière pour les applications  lipschitziennes.

Plus loin il donne une remarque sur les modules de continuité à propos du théorème sur le prolongement des fonctions uniformément continues:

Soit X une partie partout dense d'un espace métrique E et soit f une application uniformément continue de X dans un espace métrique complet F. Il existe alors une application continue unique g de E dans F dont la restriction à X soit f; cette application g est uiformément continue.

Et si un module de continuité \varphi de f est continu, c'est aussi un module de continuité pour son prolongement g, en particulier si f est lipschitzienne de rapport k, il en est de même pour g.


Après l'auteur utilise surtout cette notion pour les espaces de fonctionc équicontinues,

car dire qu'un ensemble de fonctions E est également continu équivaut à dire qu'il existe un module de continuité \varphi commun à toutes les f de E. On peut interpréter ce résultat comme le fait que les fonctions f de E ont une sorte de "rigidité" que mesure leur module de continuité \varphi.

Après j'ai pas vu plus dessus, et j'ai pas repéré d'exos portant sur cette notion.

Posté par
Cauchyre : ensemble uniformément équicontinue et modules de continuité 02-08-07 à 00:54

Ok merci des précisions, en quelque sorte c'est une manière plus commode pour manier l'uniforme continuité sans passer par les epsilon.


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