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Niveau Licence Maths 1e ann
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Ensembles

Posté par
RiemanB
18-01-21 à 12:48

Bonjour,
Pouvez-vous me dire si mes réponses sont justes s'il vous plait?

Soit An := {x ∈ [0; 1] : la nème décimale de x est 0}.
(a) Décrire les ensembles n∈N An et n∈N An de manière simple.
n∈N An=An
n∈N An={0,1}


(b) Décrire les ensembles n∈N(An)c etn∈N (An)c de manière simple.
n∈N(An)c=(An)c
n∈N (An)c=[0,1]



c) De même, décrire les ensembles B =n∈N   k≥n Ak et C =n∈N k≥n  Ak.

Je ne vois pas comment me le représenter.

Posté par
lionel52
re : Ensembles 18-01-21 à 13:21

Non. L'union des An est indexé par n, ça peut pas être égal à un truc qui dépend de n !
C'est la même chose pour les sommes

f(n) = \sum_{n = 0}^p a_n n'a aucun sens !

On te demande surement une description en français

Posté par
RiemanB
re : Ensembles 18-01-21 à 13:28

Merci pour ta réponse Lionel. Je reviens travailler dessus cet apres midi.

Posté par
DOMOREA
Ensembles 18-01-21 à 15:19

bonjour,
pour commencer et pour a) et b)
peux-tu définir A_0 ?
Donnes des éléments appartenant à A_1 puis à A_2 continue encore si cela t'es utile.
Traduis la définition ensembliste de x\in \cup_{n\in N}} A_n
Fais de même avec l'intersection

pour p donné traduis x\in (A_p)^c et refais la même chose que précédemment

Posté par
RiemanB
re : Ensembles 18-01-21 à 16:16

Merci de ta réponse.
A0 représente les x de [0,1] avec aucune décimale derrière la virgule.
A1 représente les x de [0,1] avec comme première décimale 0. il y a  0.01, et 0.0005 par exemple.
Avant de répondre aux autres étapes je veux voir si ce que j'ai écris n'est pas faux

Posté par
GBZM
re : Ensembles 18-01-21 à 16:25

Bonjour,

Selon la définition A_0 est l'ensemble des nombres réels de [0,1] dont la 0-ème décimale est 0.
Problème : je ne sais pas ce qu'est la 0-ème décimale.
Quelqu'un peut-il me l'expliquer ?

Posté par
RiemanB
re : Ensembles 18-01-21 à 16:26

C'est ce que je me disais GBZM j'ai pensé à l'ensemble vide  pour A0

Posté par
RiemanB
re : Ensembles 18-01-21 à 16:29

J'ai oublié d'écrire pour tout n appartenant à lensemble des entiers naturels

Posté par
matheuxmatou
re : Ensembles 18-01-21 à 16:30

bonjour

même interrogation que GBZM ...

RiemanB 0 est bien dans l'ensemble des entiers naturels !

Posté par
RiemanB
re : Ensembles 18-01-21 à 16:31

Sinon etes-vous d'accord avec cela:
A1=[0,0.1[
A2=[0,0.01[
A3=[0,0.001[

Posté par
matheuxmatou
re : Ensembles 18-01-21 à 16:32

donc déjà vérifier dans quel ensemble exactement se déplace l'entier n ...

Posté par
RiemanB
re : Ensembles 18-01-21 à 16:33

Je vais demander si mon prof ne voulait pas plutôt écrire n*

Posté par
matheuxmatou
re : Ensembles 18-01-21 à 16:34

non pour A2

0,1035 A2

Posté par
matheuxmatou
re : Ensembles 18-01-21 à 16:35

RiemanB @ 18-01-2021 à 16:33

Je vais demander si mon prof ne voulait pas plutôt écrire n*


ben je sais pas ! on n'est pas dans sa tête

c'est un énoncé copié ? un poly ?

Posté par
RiemanB
re : Ensembles 18-01-21 à 16:37

Très bien pour A2 et le reste des ensembles ce sera des réunions d'intervalles.
C'est un poly

Posté par
matheuxmatou
re : Ensembles 18-01-21 à 16:43

et puis "décrire" ... j'interprète cela comme l'attente d'une phrase en français  caractérisant les éléments demandés...

option 1 : n peut valoir 0 et la "0-ième décimale" serait le coefficient de 100 dans la décomposition décimale... c'est un peu capilotracté et ça fournit des réponses simples aux problèmes posés.

option 2 : n * (c'est mathématiquement le plus logique) et cette fois je ne vois pas comment décrire l'union autrement que par un phrase.

pour l'intersection c'est simple !

Posté par
RiemanB
re : Ensembles 18-01-21 à 16:50

Merci pour ta réponse matheuxmatou je reviens sûrement tout à l'heure( cours visio oblige)

Posté par
matheuxmatou
re : Ensembles 18-01-21 à 16:52

vérifie déjà l'énoncé point par point... et donne-le au mot près !

Posté par
DOMOREA
Ensembles 19-01-21 à 11:38

bonjour,
je pense que le plus logique est de décider  qu'il s'agit de \mathbb{N}^* et non pas de \mathbb{N}
ce qui impliquerait que 0 et 1 seraient éléments de \cap_{n\in N^*}} A_n

d'autre part le texte ne demande pas de décrire mathématiquement A_n puisque qu'il est déjà décrit par une phrase dans le sujet.
L'intérêt réside dans les questions qui suivent.

Je propose cependant sans  y voir d'intérêt la définition suivante pour A_n.

Soit C={0,1,2,...,9}, A_n={ (\sum_{i\in \mathbb{N^*}}  a_i 10^{-i}) -a_n10^{-n} \:,   a_i\in C }

@RiemanB  pour commencer x\in \cup_{n\in N^*}} A_n se traduit (\exists p \in\mathbb{N^*}) \: ;x\in A_p


Posté par
DOMOREA
Ensembles 19-01-21 à 12:07

je viens de m'apercevoir qu'avec ma définition 1 n'appartient à aucun An ??

Posté par
matheuxmatou
re : Ensembles 19-01-21 à 12:12

oui... !

prenons de fait n non nul...

en fait :

x \; \in \; A_n \quad \Leftrightarrow \quad E(10^n \times x) \; \equiv \; 0 \; [10]

où E( ) représente la partie entière

Posté par
matheuxmatou
re : Ensembles 19-01-21 à 12:15

en prenant l'application

f_n (x)=\dfrac{E(10^n \times x)}{10}

An = fn-1()

sauf erreur

Posté par
DOMOREA
Ensembles 19-01-21 à 17:09

astucieux matheuxmatou !
RiemenB à propos de tes réponses du 18/01/21 à16h31 pour A2 il y a entre multiples autres  0,015 dans A1 ; pour A2 matheuxmatou t'a répondu.

Posté par
DOMOREA
Ensembles 19-01-21 à 17:14

astucieux matheuxmatou !
RiemanB à propos de tes réponses du 18/01/21 à16h31 ; il y a parmi d'autres  0,015 dans A1 ; pour A2 matheuxmatou t'a répondu. pour A3 c'est tout aussi erroné.

Posté par
DOMOREA
Ensembles 19-01-21 à 21:17

@matheumatou
f_n^{-1}(\mathbb{N}) est bien l'image réciproque de \mathbb{N}
A_n = f_n^{-1}(\mathbb{N}) donc pour p dans \mathbb{N}  f_n(p)\in A_n or ceci me semble faux
car prenant la demarche inverse, tu obtiens  avec l'entier p=10^n l'intervalle [10;10+10^{-n}[ qui n'est pas dans [0,1]

Posté par
matheuxmatou
re : Ensembles 19-01-21 à 23:40

DOMOREA

j'ai pas précisé, mais mon application fn est définie de [0;1] dans

oui, c'est bien l'image réciproque de ... dans [0;1]...

x \; \in \; A_n \quad \Leftrightarrow \quad x \in \; [0;1] \text{ et } f_n(x) \; \in \; \mathbb{N}

Posté par
matheuxmatou
re : Ensembles 19-01-21 à 23:43

(mais je ne comprends pas ton "fn(p) An")

fn-1 n'est pas l'application réciproque de fn qui, d'ailleurs , n'est pas bijective...

Posté par
DOMOREA
Ensembles 20-01-21 à 09:03

bonjour matheumatou,
non bien sûr, je voulais écrire f_n^{-1}(p) \subset A_n
donc tu corriges en écrivant A_n=f_n^{-1}(N)\cap[0;1] dans ce cas je suis d'accord.

Posté par
matheuxmatou
re : Ensembles 20-01-21 à 09:56

en fait je précise en disant que fn est une application de [0;1] dans

si f est une application de E dans F et H une partie de F,

f-1(H) = {x E, f(x) H}

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