bonsoir,
on dit que deux ensemble adjacents A et B telles que A et B sont deux partie non vide et bornées dans R si et seulement si :
supA=infB 0,
x
A,
y
B : valeur absolu(x-y)
je veux la démonstration de cette équivalence
merci
Salut
Sens direct :
On fixe .
Par définition des bornes sup et inf, il existe a dans A et b dans B tels que et
Que dire alors de ?
Sens indirect :
Il suffit de montrer que et
Essaye un coup
Rebonsoir,
ton énoncé est faux, écrit comme cela.Contre-exemple : A = [0;1] et B = [0;10].
Pour tout epsilon > 0 on prend x = y = 0,5 donc l'affirmation de droite est vérifiée sans que celle de gauche le soit.
L'implication de gauche à droite est en revanche vraie:
si sup A = inf B, alors pour tout epsilon > 0 il existe, par définition de sup A et inf B, x dans A et y dans B tels que
sup A - eps/2 < x < sup A et
inf B < y < inf B + eps/2
On encadre alors -x puis on additionne la deuxième inégalité avec l'inégalité obtenue.
En utilisant que sup A = inf B et que y - x = |y - x| (puisque y > x), on tombe sur |y - x| < eps.
Oui exact, pour que ce soit vrai il faut rajouter la condition :
Pour tout (a,b) dans AxB, a est inférieur à b.
et pour l'autre implication ?
je n'arrive pas a déduire quelque chose ,
bon on a -eps x-y
eps
on peut tirer x et y ! mais je trouve pas comment déduire que infBsupA (a propos de supA
infB je l'ai démontrer vu que x
y)
Déjà cela équivaut à 0 < y - x < eps puisque y > x.
Ensuite, utilise que y > inf B et que x < sup A pour en déduire que pour tout eps > 0, inf B - sup A < eps, puis conclus
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