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Niveau Maths sup
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ensembles adjacents

Posté par
energie512
07-11-08 à 18:38

bonsoir,
on dit que deux ensemble adjacents A et B telles que A et B sont deux partie non vide et bornées dans R si et seulement si :
supA=infB 0, xA, yB : valeur absolu(x-y)
je veux la démonstration de cette équivalence
merci

Posté par
1 Schumi 1
re : ensembles adjacents 07-11-08 à 18:44

Salut

Passe par des suites qui réalisent l'inf et le sup, c'est immédiat.

Posté par
Nightmare
re : ensembles adjacents 07-11-08 à 18:48

Salut

Sens direct :

On fixe 3$\rm \epsilon.

Par définition des bornes sup et inf, il existe a dans A et b dans B tels que 3$\rm a+\frac{\epsilon}{2} > sup(A) et 3$\rm b-\frac{\epsilon}{2}< inf(B)

Que dire alors de 3$\rm b-a ?

Sens indirect :

Il suffit de montrer que 3$\rm sup(A)\le inf(B) et 3$\rm inf(B)\le sup(A)

Essaye un coup

Posté par
Tigweg Correcteur
re : ensembles adjacents 07-11-08 à 18:49

Rebonsoir,

ton énoncé est faux, écrit comme cela.Contre-exemple : A = [0;1] et B = [0;10].

Pour tout epsilon > 0 on prend x = y = 0,5 donc l'affirmation de droite est vérifiée sans que celle de gauche le soit.

L'implication de gauche à droite est en revanche vraie:

si sup A = inf B, alors pour tout epsilon > 0 il existe, par définition de sup A et inf B, x dans A et y dans B tels que

sup A - eps/2 < x < sup A et

inf B < y < inf B + eps/2

On encadre alors -x puis on additionne la deuxième inégalité avec l'inégalité obtenue.
En utilisant que sup A = inf B et que y - x = |y - x| (puisque y > x), on tombe sur |y - x| < eps.

Posté par
Nightmare
re : ensembles adjacents 07-11-08 à 18:51

Oui exact, pour que ce soit vrai il faut rajouter la condition :

Pour tout (a,b) dans AxB, a est inférieur à b.

Posté par
1 Schumi 1
re : ensembles adjacents 07-11-08 à 18:54

Euh oui, bien vu Greg.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : ensembles adjacents 07-11-08 à 19:01

Voilà, c'est bien cette condition qui manque.

Posté par
energie512
re : ensembles adjacents 07-11-08 à 19:19

oui il faut ajouter que x y
merci beaucoup a vous

Posté par
energie512
re : ensembles adjacents 07-11-08 à 19:51

et pour l'autre implication ?
je n'arrive pas a déduire quelque chose ,
bon on a             -eps x-y eps
on peut tirer x et y ! mais je trouve pas comment déduire que infBsupA (a propos de supA infB je l'ai démontrer vu que x y)

Posté par
Tigweg Correcteur
re : ensembles adjacents 07-11-08 à 19:57

Déjà cela équivaut à 0 < y - x < eps puisque y > x.

Ensuite, utilise que y > inf B et que x < sup A pour en déduire que pour tout eps > 0, inf B - sup A < eps, puis conclus

Posté par
energie512
re : ensembles adjacents 07-11-08 à 20:06

je n'arrive pas a déduire ni conclure
désolé

Posté par
energie512
re : ensembles adjacents 07-11-08 à 20:17

plutôt j'ai déduit mais j'ai pas conclus

Posté par
Tigweg Correcteur
re : ensembles adjacents 07-11-08 à 20:22

Es-tu d'accord que si un réel 3$\rm a vérifie pour tout 3$\rm \epsilon > 0 l'inégalité 3$\rm 0\le a < \epsilon , alors 3$\rm a = 0 ?

Si oui, tu as ta conclusion.

Posté par
energie512
re : ensembles adjacents 07-11-08 à 20:27

c'est bon j'ai conclus
merci beaucoup de votre aide

Posté par
Tigweg Correcteur
re : ensembles adjacents 07-11-08 à 20:29

Avec plaisir

Posté par
hamza1234
re : ensembles adjacents 27-12-15 à 14:41

s'il vous plais comment vous avez montré que supA<= inf B ????



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