Si A inter B different de O(ens vide ..)
Il existe un x appartenant a A inter B , tel que P(x) a deux antecedents..x appartient a la foi a A et a B..

Donc l'application n'est pas surjective.. voila un petie debut , je reflechis pour la suite ..

Salut,

C'est un peu inhabituel, mais ca se traite classiquement, sans se demonter.
(remarque pour nounou_cam: tu n'as rien montre du tout, la... en plus le fait d'avoir un antecedent - alors deux, c'est encore pire - prouve justement que P est surjective...).

1. Supposons P surjective.
ALors quels que soient les elements y et z de P(A) et P(B) respectivement, on peut trouver un x tel que:

Ax = y
Bx = z

Prenons par exemple y = et z = B

On a l'existence d'un x tel que
Ax =
Bx = B

Donc B est inclus dans x, et il en resulte que AB =
(je fais vite, mais c'est facile a voir)


2. supposons maintenant AB =
Soient alors y une partie de A et z une partie de B. Cherchons un antecedent de (y,z) par P.
je propose de ocnsiderer x = y z

En effet:

P(x) = (A x; Bx)
     = ( (Ay) (Az); (By) (Bz)) (par propriete de inter d'une union)

Or z est une partie de B: Az = vide (car A inter B aussi)
et y une partie de A By = vide

P(x) = (Ay; Bz)

et comme y partie de A, y inclus dans A donc A inter y = y. Pareil avec B et z:

P(x) = (y,z)


P est surjective.


Voila voila.


A+
biondo