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Niveau Maths sup
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ensembles : complémentaire de l'image et image du complémentaire

Posté par
joyoftech
06-09-10 à 20:52

Le titre donne le ton, l'intitulé exact étant :
"Soient E et F deux ensembles et f une application de E dans F, montrer que f est bijective si et seulement si pour toute partie A de E l'image du complémentaire de A dans E est le complémentaire de l'image de A".

Je ne sais tout bonnement pas comment commencer, dans un sens comme dans l'autre...
Si quelqu'un pouvait me donner le raisonnement logique à avoir, j'ose espérer pouvoir le mettre en œuvre !

Merci d'avance

Posté par
Bachstelze
re : ensembles : complémentaire de l'image et image du complémen 06-09-10 à 21:13

Bonsoir

Il suffit de supposer que les deux ne sont pas égaux, par exemple y f(CEA), y CFf(A), et montrer que c'est équivalent à dire que f n'est pas bijective.

Puisque y f(CEA), x CEA, y = f(x). Or, puisque y CFf(A), ça veut dire que y f(A), et donc x' A, y = f(x').

On a y = f(x) = f(x'), x CEA, x' A. Ouch.

Posté par
joyoftech
re : ensembles : complémentaire de l'image et image du complémen 06-09-10 à 21:34

Si je comprends bien :
x x' => f(x) f(x') donc f n'est pas bijective ?

Posté par
Bachstelze
re : ensembles : complémentaire de l'image et image du complémen 06-09-10 à 21:38

C'est ça. Si f était bijective, on aurait l'implication x ≠ x' => f(x) ≠ f(x'). Là, on n'a pas l'implication, donc f n'est pas bijective.

Posté par
joyoftech
re : ensembles : complémentaire de l'image et image du complémen 06-09-10 à 21:47

Et cela suffit à justifier l'équivalence de l'assertion mathématique ? Toutes les preuves que nous avons faites jusqu'à présent sont en deux temps selon le sens de l'implication, mais ici je ne vois pas quel serait l'autre "sens !
Merci infiniment d'avoir pu répondre à mes questions précédentes !

Posté par
Bachstelze
re : ensembles : complémentaire de l'image et image du complémen 06-09-10 à 22:03

En effet, il faut montrer la réciproque.

Alors, si f n'est pas bijective, deux possibilités :

soit elle n'est pas injective, et c'est ce qu'on a montré au-dessus : (a, b) E2, a ≠ b, f(a) = f(b). Soit A une partie de E contenant a et ne contenant pas b. f(a) f(A) et f(b) f(CEA), etc.

soit elle n'est pas surjective, et alors y F, x E, y ≠ f(x) (i.e. il existe un y qui ne possède pas d'antécédent par f). y ne peut donc pas appartenir à f(A), et il appartient donc à CFf(A). On ne peut donc pas avoir f(CEA) = CFf(A) car ça signifierait que y, appartenant à f(CEA), admet un antécédent par f, qui appartient à CEA. Ca contredit l'hypothèse selon laquelle y n'admet pas d'antécédent par f, donc f(CEA) ≠ CFf(A).

Au final, on a montré que l'assertion "f n'est pas bijective" équivaut à "f(CEA) ≠ CFf(A)". En prenant la négation des dex, on retrouve la question posée.

Posté par
joyoftech
re : ensembles : complémentaire de l'image et image du complémen 06-09-10 à 22:17

Un grand merci, parce que, pour le coup, c'était pas gagné d'avance (j'avoue avoir beaucoup de mal avec la notion d'ensembles), mais je crois avoir très bien compris et ce, grâce à vous.

Posté par
Akhenon
re : ensembles : complémentaire de l'image et image du complémen 10-10-20 à 17:21

Bonjour
j'ai une question à propos de ce sujet :
Soit A un sous ensemble de E
j'aimerais savoir si (l'image du complémentaire de A dans E) est égale au complémentaire de f(A) dans F.
Merci d'avance

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : ensembles : complémentaire de l'image et image du complémen 10-10-20 à 17:39

Bonjour,
Avec une application non surjective, ce sera difficile.
Regarde avec f de vers définie par f(x) = x2.

Posté par
Akhenon
re : ensembles : complémentaire de l'image et image du complémen 10-10-20 à 18:43

Je vais exposer ce à quoi je pense,
Le complémentaire de R+ dans R est R- ,
F(R-)= ensemble vide
Le complémentaire de F(R+) dans R= complémentaire de R dans R = ensemble vide aussi.
Je ne vois pas où est la difficulté peux tu m'éclairer stp.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : ensembles : complémentaire de l'image et image du complémen 10-10-20 à 18:50

f(-2) = 4 ; donc l'image de - par f n'est pas vide.

Et aussi l'image de + par f n'est pas .

Posté par
Akhenon
re : ensembles : complémentaire de l'image et image du complémen 10-10-20 à 19:01

Oups j'ai fais n'importe quoi

Posté par
jsvdb
re : ensembles : complémentaire de l'image et image du complémen 10-10-20 à 22:28

Bonsoir
Il me semble avoir corrigé une fiche récemment à ce sujet. Il y avait notamment cet exercice :

Soit f : A \rightarrow B.
Montrer l'équivalence des deux propositions suivantes :
1- f est bijective.
2- Pour toute partie X\subset A, f(\complement_A X) = \complement_B f(X)



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