Le titre donne le ton, l'intitulé exact étant :
"Soient E et F deux ensembles et f une application de E dans F, montrer que f est bijective si et seulement si pour toute partie A de E l'image du complémentaire de A dans E est le complémentaire de l'image de A".
Je ne sais tout bonnement pas comment commencer, dans un sens comme dans l'autre...
Si quelqu'un pouvait me donner le raisonnement logique à avoir, j'ose espérer pouvoir le mettre en œuvre !
Merci d'avance
Bonsoir
Il suffit de supposer que les deux ne sont pas égaux, par exemple y
f(CEA), y
CFf(A), et montrer que c'est équivalent à dire que f n'est pas bijective.
Puisque y f(CEA),
x
CEA, y = f(x). Or, puisque y
CFf(A), ça veut dire que y
f(A), et donc
x'
A, y = f(x').
On a y = f(x) = f(x'), x CEA, x'
A. Ouch.
C'est ça. Si f était bijective, on aurait l'implication x ≠ x' => f(x) ≠ f(x'). Là, on n'a pas l'implication, donc f n'est pas bijective.
Et cela suffit à justifier l'équivalence de l'assertion mathématique ? Toutes les preuves que nous avons faites jusqu'à présent sont en deux temps selon le sens de l'implication, mais ici je ne vois pas quel serait l'autre "sens !
Merci infiniment d'avoir pu répondre à mes questions précédentes !
En effet, il faut montrer la réciproque.
Alors, si f n'est pas bijective, deux possibilités :
soit elle n'est pas injective, et c'est ce qu'on a montré au-dessus : (a, b)
E2, a ≠ b, f(a) = f(b). Soit A une partie de E contenant a et ne contenant pas b. f(a)
f(A) et f(b)
f(CEA), etc.
soit elle n'est pas surjective, et alors y
F,
x
E, y ≠ f(x) (i.e. il existe un y qui ne possède pas d'antécédent par f). y ne peut donc pas appartenir à f(A), et il appartient donc à CFf(A). On ne peut donc pas avoir f(CEA) = CFf(A) car ça signifierait que y, appartenant à f(CEA), admet un antécédent par f, qui appartient à CEA. Ca contredit l'hypothèse selon laquelle y n'admet pas d'antécédent par f, donc f(CEA) ≠ CFf(A).
Au final, on a montré que l'assertion "f n'est pas bijective" équivaut à "f(CEA) ≠ CFf(A)". En prenant la négation des dex, on retrouve la question posée.
Un grand merci, parce que, pour le coup, c'était pas gagné d'avance (j'avoue avoir beaucoup de mal avec la notion d'ensembles), mais je crois avoir très bien compris et ce, grâce à vous.
Bonjour
j'ai une question à propos de ce sujet :
Soit A un sous ensemble de E
j'aimerais savoir si (l'image du complémentaire de A dans E) est égale au complémentaire de f(A) dans F.
Merci d'avance
Bonjour,
Avec une application non surjective, ce sera difficile.
Regarde avec f de vers
définie par f(x) = x2.
Je vais exposer ce à quoi je pense,
Le complémentaire de R+ dans R est R- ,
F(R-)= ensemble vide
Le complémentaire de F(R+) dans R= complémentaire de R dans R = ensemble vide aussi.
Je ne vois pas où est la difficulté peux tu m'éclairer stp.
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