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Ensembles et applications
Bonjour je n'arrive pas à démontrer que f surjective équivaut à F injective
Etant donnée une application f: X -> Y et en considérant l'application
F: P(Y) -> P(X)
: B -> f^-1(B)={x appartenant à X: f(x) appartient à B}.
Le prof nous a conseiller de démontrer d'abord que ff^-1(B)=B quelque soit B équivaut à f: X->Y surjective
Mais je n'arrive pas non plus à démontrer cela.
J'ai besoin d'aide, merci.
Bonjour, grenouillette.
Supposons F injective.
Alors, pour tout y de Y, est différent de
. Donc, il existe x dans X tel que f(x)=y. f est surjective.
Supposons f surjective. Alors, si A est différent de B, il existe un élément de A qui n'appartient pas à B (ou un élément de B qui n'appartient pas à A...), notons-le a. Soit x dans X tel que f(x)=a. x appartient à , mais n'appartient pas à
. Donc, F(A) est différent de F(B).
F est injective.
A oui je n'avais pas penser à ça merci
Par contre pour dmontrer que f(f^-1(B))=B quelque soit B équivaut à f: X->Y surjective je ne vois pas comment faire.
Supposons f surjective.
Alors, pour toute partie B de Y, pour tout élément b de B, il existe a dans X tel que f(a)=b, donc tel que a appartient à et f(a)=b. Donc, b appartient à
. Donc B est inclus dans
. Et comme on a toujours
inclus dans B, on en déduit que B est égal à
.
Supposons que, pour toute partie B de Y, est égal à B.
En particulier, est égal à Y. Y est donc inclus dans l'image de f, ce qui prouve que f est surjective.
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