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ensembles et applications
Bonsoir,
Dans le chapitre sur les applications, nous avons vu que si un ensemble A est inclus dans B, et si f est une application, alors f(A) est inclus dans f(B). J'ai compris la démonstration mais j'ai pensé à un cas où cela ne marche pas et je ne comprends pas pourquoi : si f est l'application qui à un ensemble associe son complémentaire, on a B_barre inclus dans A_barre et pas l'inverse, non ?
Merci d'avance pour votre aide.
Bonsoir,
Il faut clairement définir ta fonction. Ton exemple est à valeur des partie d'un ensemble (disons E) dans les parties de E. Elle prend un sous-ensemble de E et lui associe
.
Ce que dis ta propriété de cours, c'est qu'une partie A (un sous ensemble de P(E) ) incluse dans une partie B (un plus gros sous ensemble de P(E) ) vérifiera bien que f(A) est inclus dans f(B). Ici ça signifie que tous les complémentaire d'ensembles appartenant à A sont des complémentaires d'ensembles appartenant à B...
Bonjour,
Je me permets d'ajouter un petit commentaire : fubarine, tu es victime d'un abus de notation très courant.
Soit une application de
dans
. Si
appartient à
, alors
désigne la valeur prise par
en
Si l'on s'en tient à ça, la notation
n'a pas de sens quand
est une partie de
au lieu d'être un élément de
. Mais on a pris l'habitude de noter
l'image par
de la partie
. L'abus de notation consiste à noter de la même façon l'application
et l'application
qui envoie une partie de
sur son image par
. Si on était très soigneux, on pourrait noter
cette deuxième application. Alors l'assertion qui te pose problème s'énoncerait :
Pour toute application et pour toutes parties
et
de
, si
alors
.
Ça va mieux comme ça ?
Ton application de dans lui-même qui à une partie de
associe son complémentaire n'est de la forme
pour aucune application
, sauf si
.
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