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ensembles et binôme, math sup, une question
bonjour, je suis en math sup pcsi et j'ai un petit problème sur un des exos de mon Dm, alors je demande votre aide! merci d'avance!
En calculant de 2 façons différentes [(1+x)^n][(1+x)^m, montrez que
(n+m) = 
de k=0 à p de (m) ( n )
( p ) (k) (p-k)
Quelle est l'interprétation ensembliste de cette formule?
en utilisant la formule du binôme:
(a+b)^n=de k=0 à n de (n) a^k b^(n-k)
(k)
je calcule [(1+x)^n][(1+x)^m = de k=0 à n de (n) x^(n-k) * de k=0 à m de (m) x^(m-k)
(k) (k)
pour la 2ème méthode je vois que : [(1+x)^n][(1+x)^m = (1+x)^(m+n) alors je calcule: [(1+x)^n][(1+x)^m = de k=0 à (m+n) de (n+m) x^(n+m-k)
( k )
ensuite, j'ai essayé de résoudre l'équation des 2 manières de calculer [(1+x)^n][(1+x)^m :
de k=0 à (m+n) de (n+m) x^(n+m-k)
( k )
= de k=0 à n de (n) x^(n-k)
(k)
* de k=0 à m de (m) x^(m-k)
(k)
mais je n'arrive à rien de bien, je n'arrive pas à simplifier. je ne vois pas où j'ai pu me tromper. voila. merci pour votre aide.
laurie
Tu es bien parti, mais je ne comprends pas ce que tu entends par "résoudre l'équation"
L'identité obtenue est vraie quel que soit x, donc tu peux identifier terme à terme : le coefficient de x^p par la première méthode doit être égal au coeff de x^p dans la seconde, et ce quel que soit p...
en fait, je dois montrer que
(n+m) = de k=0 à p de (m) ( n )
( p ) (k) (p-k)
mais je ne vois pas comment y arriver avec ce que j'ai trouvé, je m'embrouille dans les calculs. je ne vois pas comment je peux identifier ou rassembler les ensembles
je ne comprends pas à quoi correspond p et où sont passés les x ?!?!?!
peut-on sortir les ensembles des sommes?
En développant (1+x)^(n+m) tu obtiens une somme de termes C((n+m),p) x^p
où je note C(n,p)=n!/(p!(n-p)!)
Même chose pour (1+x)^n et (1+x)^m; quand on fait produit de ces deux sommes, on obtiendra un terme en x^p chaque fois que l'on combinera un terme en x^k dans la première et un terme en x^(p-k) dans la seconde, et cela pour k de 0 à p, et on obtiendra C(n,k)C(m,p-k) x^p.
D'où l'identité demandée...
Interprétation: pour choisir p éléments parmi n+m , j'en prends k parmi n et p-k parmi m, avec k compris entre 0 et p
Bonjour laurie;
Pour la première façon tu as bien débuté:
Pour la seconde façon c'est bien fait:
En égalant le coefficient de dans ces deux expressions on que:
chose qui s'écrit aussi
avec la convention
Sauf erreur bien entendu 
merci pour la réponse, mais je dois avouer que je ne comprend toujours pas comment on simplifie le produit des 2 sommes parce que je ne vois pas à quoi correspond p (p=?).
sinon vous dites: "j'en prends k parmi n et p-k parmi m" mais c'est l'inverse: k parmi m et p-k parmi n, je suppose qu'on trouve la même chose si on inverse n et m.
merci, j'annule le message précédt puisqu'une réponse est arrivée entre tps.
j'ai compris maintenant! merci beaucoup pour votre aide à tous les 2.
en fait je me suis réjouie trop vite. je ne comprends pas comment on passe
de (1+x)^(n+m) à de p=0 à n+m de (n+m) x^p
( p )
moi je trouve pas x^p mais x^(m+n) ?!? si quelqu'un peut m'expliquer... (il s'agit de la 2ème méthode de elhor_abdelali) merci
oui désolé, c'est parce que j'avaiscommencé en inversant a et b, donc ça changeait tout, merci bcp.
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