Bonjour,

quelle est ta definition d'ouvert?

Sais tu que l'image reciproque d'un ouvert par une application continue est ouvert?

ma définition est :
A est ouvert ssi quelquesoit x appartient à A, il existe une boule de centre x et de rayon r>0 incluse dans A.

oui j'ai vu dans mon cours que l'image reciproque d'un ouvert par une application continue est ouvert, mais cela va peut-être paraitre idiot mais je ne comprends pas trop ce que cela signifie...

merci de la réponse aussi rapide !

Je vais manger je t'expliquerai ca apres si quelqu'un l'a pas deja fait

pas de problème je vais manger également alors!

merci beaucoup

Deja est ce que tu vois bien ce qu'est l'image reciproque?

non, pas vraiment (désolée pour mon décalage)

Si tu as f:E--->F

L'image reciproque d'une partie A de F est la partie de E definit comme suit:

d'acccord pour cette notion de l'image réciproque.

Et bien une propriete te dit que l'image reciproque de tout ouvert est un ouvert et celle d'un ferme,un ferme.

Tu peux t'en servir pour A et B.

Pour I,que dire d'une boule ouverte en -2?

pour I, après avoir tenté un shéma, la boule B(-2,r) existe, cela signifie donc que I est ouvert ?

ensuite, ça y est je viens de comprendre pourquoi tu m'as parlé de l'image réciproque, mais mon problème est que je n'arrive pas à visualiser ou dessiner une boule dans cos(x). donc par conséquent je n'arrive pas à savoir si la fonction est fermé ou ouvert.

d'ailleurs, une question me vient : si un ensemble n'est pas ouvert, est-il par conséquent fermé ?

Deja pour I,est ce que ta boule reste dans ton ensemble?

Fais un dessin.

Un ensemble peut etre ni ouvert,ni fermé par exemple ]0,1].

ben en fait non, pour I j'ai du m'embrouiller... la boule n'est pas incluse totalement dans l'ensemble, puisque {-2} est "loin" donc il ne peut pas être ouvert.
Comment je peux savoir si il est fermé ou pas ? La définition que j'ai parle du complémentaire...

Oui il est ferme si son complementaire est ouvert.

Il va avoir du mal à etre fermé car il va y avoir un probleme en -1.

Il y a aussi la propriete qui dit qu'un ensemble F  est ferme si toute suite de F qui converge a sa limite dans F.

mais le complémentaire , c'est ]-infini,1[ ?

je ne vois pas encore le problème en -1...

je reviendrais demain soir, après une bonne nuit de repos... ça te paraît peut-être rien du tout comme exercice, mais quand on a plus l'habitude, c'est fatiguant !

merci pour l'échange sympathique et enrichissant!

à bientôt

En fait c'est plutot ]-infini,1] et la tu vois peut etre mieux le probleme.

en fait je ne vois pas le pb en -1... voici ma réflexion pour savoir si I est fermé :
je trouve le complémentaire de I que j'appelle I' :
Comme le complémentaire d'une réunion est l'intersection des complémentaires, voici I' :
I' = ]-infini;1] ]-infini;-2[]-2;+infini[
ce qui donne I'= ]-infini;1]-{-2}
mais là il faudrait que je trouve si I' est ouvert, et je ne pense pas car 1 est inclus dans I'.
Donc j'en conclus que I n'est pas fermé.
Mais je ne comprends pas l'histoire du problème en -1.

ensuite, j'ai réfléchi sur l'ensemble A={(x,y) appartient à R2, 0 =< y² =< x⁴ =<3 }
j'ai trouvé que c'était équivalent à 0yx²
alors y appartient à [0;], qui est fermé et comme l'image réciproque d'un fermé est un fermé alors A est fermé.
est-ce juste ?

pour B= {(x,y) appartient à R2, y=cos(x)} , j'ai résonné de la même manière : y appartient à [-1;1], qui est fermé, donc B est fermé.

Est-ce que mes raisonnements sont justes ?

Merci de m'aider encore un peu

les [leqslant] qui apparaissent sont en fait des inférieur ou égal (je ne maitrise pas encore le langage LaTeX, désolée)

Bonjour
L'ensemble I n'est ni ouvert, ni fermé. En effet, autour de -2 il n'a aucune boule dans I, donc I n'est pas oubert. La suite 1+1/n est formée d'éléments de I, elle converge dans R vers 1, mais 1 n'est pas dans I, donc I n'est pas fermé.
Ici, le passage au complémentaire n'est pas très performant puisqu'on y retrouve le même genre de problème.

Pour B ça ne va pas. D'après toi, serait fermé? On peut introduire la fonction F(x,y)=cos(x)-y et remarquer que B=F^-1({0})

pour B, je n'ai pas compris les explications (désolée, je n'ai pas fais de maths depuis la terminale S il y a deux ans). pourquoi ]-1,1[x[-1,1] ? et pourquoi cette nouvelle fonction?

est-ce que pour A mon raisonnement est juste?

Merci

Pour B tu prétends qu'il est fermé parce que y est dans [-1,1]. Je te montre que l'on peut avoir cette situation sans que ça soit fermé.
Pour A tu fais la même erreur et ton équivalence est fausse car y peut-être négatif. Pour A il est probablement plus facile de voir que le complémentaire est ouvert. Sinon, toujours avec la méthode indiquée par Cauchy qui est la plus performante introduis la fonction G:R²R² définie par G(x,y)=(x⁴,x⁴-y²) et essaye de démontrer que

qui est fermé.
(Commence par revoir la définition de l'image réciproque)