Bonjour toureissa.
Ici, je pense qu'il faut utiliser ici l'axiome de Borel-Lebesgue sur l'extraction de recouvrements finis.

Dit comme ca. Le resultat est faux.
Tu es sur que tu ne vx pas dire que A est complet au lieu de A ferme.
Ferme dans quoi?

@Poncargues, j'ai écrit comme ça se trouve dans l'énoncé.
Peut-être fermé dans ?

@jsvdb je dois montrer que :

de tout recouvrement de A par des ouverts on peut extraire un recouvrement fini ?

Si oui . Pouvez-vous me donnez une idée de commencer ?

Je préfère l'appellation de "précompact" à "totalement borné", question d'habitude.

Dans tout espace métrique, on a la suite d'implication pour une partie A de X :

A compact A relativement compacte A précompacte A bornée

Alors, dans un espace vectoriel de dimension finie, si en plus d'être précompacte, A est fermée, alors oui, A est compacte. Comme on travaille avec , pas de soucis.
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Il faut donc montrer l'implication : A précompacte A bornée.
Mais ça c'est évident sur la définition en prenant
Comme en plus A est fermé, alors A est compacte.
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Il reste donc à montrer que A compacte A précompacte et fermée

Que A soit fermé, c'est une évidence puisqu'elle est compacte.

Si A est compacte, alors elle relativement compacte, c'est-à-dire que son adhérence est compacte.
Soit donc
On considère la famille : c'est une famille d'ouverts recouvrant
Comme est compacte, il existe tels que , ce qui est la définition de la précompacité de A.

Merci jsvdb , j'ai compris la démonstration.

Maintenant j'aimerais savoir si ça c'est vrai :

si A est compact alors A\Fr(A) est relativement compact ?

que peux-tu dire de ?

Oui merci.

un ensemble est relativement compact si son adhérence est compact .

Je peux dire que tout ouvert borné est relativement compact ?

Oui, naturellement ! Or A est compacte, donc A\Fr(A) est relativement compacte par définition.
Rappel : une partie d'un espace topologique est relativement compacte si son adhérence est compacte.

Ah ! nos messages se sont croisés

Merci  beaucoup , j'ai compris cette notion.

Bonne soirée !

Ca m'etonné beaucoup qu'on te demande de prouver ce résultat pour une partie de R^d, il devient veritablement trivial puisque les compacts sont simplement les fermés bornés.

Le resultat X espace métrique est compact ssi il est totalement borné (ou précompact) et complet n'est pas dur à prouver (meme en utilisant la définition métrique de la compacité). C'est domage de passer à coté.

Le sens direct est évident, une suite de cauchy ayant une valeur d'adherence est convergente et si ton espace n'est pas totalement borné alors on a une suite dont tout boule de rayon assez petit ne contient au plus qu'un terme de la suite, donc ne peut avoir de valeur d'adhérence.
Le sens réciproque est à peine plus dur. Prend (x_n) une suite, spécialise epsilon en 1/n, alors X est recouvert par un nombre fini de boules  de rayon 1/n, donc une boule contient une infinité de termes de la suite, tu prend pour la suite extraite, le x_n de plus petit rang dans cette boule et tu réapplique le processus pour epsilon=1/(n+1) à la suite obtenue en ne gardant que les termes qui sont dans la boule en question. Tu obtiens ainsi une suite de cauchy.

Je crois bien que la démonstration que j'ai faite 16-11-18 22:07 est valable dans un espace métrique quelconque (à vérifier)

Ben tu prouves que A fermé et précompacte implique A fermé et borné, mais fermé et borné n'est pas équivalent à compact dans un espace métrique.

Par ailleurs je précise aussi que le résultat suivant : Soit A une partie d'un espace métrique, alors A est compacte ssi A est fermée et pré-compacte, est faux.

Il faut nécessairement une hypothèse de plus, cela peut être la complétude de X ou plus fort la locale compacité de X (ce qui est le cas de R^d par exemple).

Effectivement il faut une hypothèse de complétude en plus.

À chaque fois que je cherche une définition d'espace complet , même sur le net je trouve :

Un espace est complet si toute suite de Cauchy est convergente.

Peut-on comprendre ça d'une autre manière ?

Merci je vient de comprendre.

Un espace complet est un espace qui ne contient pas de trou. Par exemple les nombres rationnels ne peut pas former un espace complet.