Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Entiers de Gauss
Bonjour,
Je cale sur un exercice:
On note Z[i] l'ensemble {a+ib|(a,b) Z² } Pour z=a+ib
C on note N(z)=z
=a²+b².
1)Montrer que (Z[i],+,x) est un sous anneau de (C,+,x).
2)Vérifier que N(zz') = N(Z)N(z').v La j'ai fit : N(zz') = z x z'
z = (a²+b²)x(a'²+b'²) = N(z)N(z').
3)Montrer que le groupe des éléments de Z[i] inversibles pour la loi x est {1,i,-1,-i).
4)Démontrer que si z \in Z[i] divise z' dans Z[i] alors N(z) divise N(z') dans Z. quels sont les diviseurs de 2+i dans Z[i]?
Merci d'avance de bien vouloir m'aider.
Bonjour
1) il suffit d'appliquer la définition et de vérifier les propriétés.
2) même démo que le module dans 
(niveau TS)
3) montre que si un élément est inversible, sa norme divise 1
4) première partie triviale : il suffit de traduire ce que signifie "diviser"
Oui ok pour le premier pour démontrer que B c A et que 1aB mais j'y arrive pas je vois ps comment je peux le démontrer
Salut 
Pour le sous-anneau, tu dois vérifier les propriétés suivantes:
- le neutre de C pour la multiplication est dans Z[i]
-
(x,y)
Z[i], x-y Z[i] et x*yZ[i]
les 1) et 2) sont seulement des calculs
3) montre que si z est inversible, N(z) = 1 (utilise le 2) )
4) pour la première question, il suffit d'écrire ce que veut dire z|z'. Pour la deuxième question, utilise ce qu'on vient de démontrer pour trouver tous les diviseurs possibles de 2 + i. (calcule N(2+i))
le neutre de C est 1 donc je prend Z= a + ib et ainsi on démontre que le neutre de C est dans Z[i]. Et après quelque soit x et y où plutôt quelque soit a et b comment je peux le démontrer ?
1= 1 + 0*b donc 1 est dans Z[i]
Soient x et y dans Z[i]. Donc x s'écrit x=a1+i*b1 et y s'écrit y=a2+i*b2 avec a1,a2,b1,b2 des entiers.
Donc x-y = ...
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac