Bonjour denigato

Pour ta première question, il suffit de montrer que c'est un sous-anneau de .
Pour ta deuxième question, si j'ai bien compris, il s'agit de la conjugaison complexe.

Kaiser

oui pour la deuxieme question c'est exactement cela mais le probleme c'est que je veux faire le stricte minimum pour c'est deux démonstrations.
Pouriez vous m'aider.

Pour la première question, montrer que l'ensemble des entiers de gauss est un sous-anneau de est, je pense, le strict minimum pour dire que c'est un anneau.

Pour la deuxième question, tu peux utiliser le fait que la conjugaison complexe est un automorphisme de et qu'elle stabilise l'ensemble des entiers de Gauss.

Bonjour, j'ai une derniere question.
soit p [ i], p est irréductible dans [ i] si et seulement si (u,v) [ i]² tels que p=uv, on ait soit u [ i]* soit v [ i]*

[ i] : entiers de Gauss
[ i]* elements inversibles de [ i] = {-1,1,-i,i}

>   2 est il irréductible dans [ i] ?
>   Montrer que z [ i], z={zz'/z'Z} est un sous groupe de ([ i];+).

Merci d'avance.

Salut denigato

Si 2 = (m+in)(m'+in')  où m,m',n,n' sont des entiers relatifs
alors en passant au module(au carré) on a :
4 = (m^2+n^2)(m'^2+n'^2)
Donc (m^2+n^2) divise 4 dans

Donc nécésssairement m+in [ i]* (cqfd)

Soit z [ i]

On a clairement z   [ i]

Soit k et p
kz - pz = (k-p)z z

De plus z z
Donc  z est un sous groupe de ( [ i];+)

excusez moi encore j'ai une derniere question

je doit démontrer z[ i]* N(z) =1

N:
   z|z|²
[ i]* ensemble des elements inversibles de [ i]

Preuve :

=> Soit z=m+in [ i]*
Alors il existe m',n' tels que :
(m+in)(m'+in') = 1

En prenant le module au carré de cette égalitén on a :
(m^2+n^2)(m'^2+n'^2) = 1
Donc N(z) = (m^2+n^2) divise 1 dans
Donc N(z) = 1

<= Réciproquement supposons que pour z=m+in [ i] on a N(z)=1
Alors m^2+n^2=1
Donc -1<=m<=1 et -1<=n<=1
Et en distinguant les différents cas on montre que :
z=m+in {1,-1,i,-i} = [ i]*


Voilà si tu as d'autres questions n'hésites pas ...