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enveloppe inférieure
Bonjour,
cette fois, A est un sous-ensemble fermé de ,
est l'application caractéristique de A.
Montrer que est l'enveloppe inférieure des fonctions continues qui sont partout
.
Notons C l'ensemble des fonctions continues qui sont partout .
Alors d'abord est un minorant de C,
par contre si ,
,
puisqu'elle n'est pas continue en un nombre fini de points, vu que A peut s'écrire comme union finie d'intervalles disjoints,
et n'étant pas continue aux bornes de ces intervalles.
A priori, il me semble qu'il faut que je procède par l'absurde en cherchant un minorant de C plus grand que ,
mais je ne vois pas trop comment procéder pour trouver une contradiction.
Bonjour
Ton énoncé m'inquiète un peu. Sans hypothèse sur A, il y a un problème. Supposons que A=Q. Une fonction continue qui est supérieure à 1 sur Q, est certainement supérieure à 1 partout, donc dans ce cas l'enveloppe serait la fonction constante de valeur 1. D'après un exo précédent, ce que tu appelles l'enveloppe inférieure est simplement la fonction définie en x par inf(f(x)) quand f décrit l'ensemble de fonctions considérées, est-ce bien ça?
Désolée, j'ai mal lu, je n'ai pas vu fermé! Oublie mon post précédent.
On veut donc montrer que pour un x n'appartenant pas à A on peut trouver une fonction continue qui majore 
A et qui vaut 0 en A. Or il existe a>0 tel que ]x-a,x+a[
A=
. Il suffit de prendre 1 pour t
Salut Camélia,
ton exemple avec Q a permis quand même de m'éclairer, parce que je voyais pas pourquoi A devait être fermé, déjà. 
Par contre je comprends pas trop, le raisonnement.
Donc on cherche une fonction continue f telle que f majore , c'est à dire f est dans C,
telle que
si ,
;
si , f(x) = 1.
Donc si , il existe un réel a>0 telle que
.
On choisit alors si
sinon.
Quand tu dis de recoller avec des bouts de droite pour rendre continu!
ces droites relient quels points à quels points?
cette fonction f joue quel rôle pour montrer que est le plus petit des majorants de C ?
pardon
si
et une droite relie (x-a, 1) à (x,0) et une autre relie (x,0) à (x+a, 1).
Ainsi définie est continue
et la fonction f qu on cherche est ?
D'abord pour montrer que A est bien la borne inférieure, il faut montrer que pour x fixé pas dans A, inf f(x)=0 avec f continue. Le plus simple est de fabriquer une fonction f continue 
A qui vaut 0 en x.
Or donc f(t)=1 pour t
tx+a et tu vérifies que ça marche!
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