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Bonjour,
je dirais que c'est 1.

Bonjour, Otto et romu.

Otto, je pense qu'il y a un problème pour x dans Q

Bonsoir a vous deux,
je vois pas du tout ce que ça donne en fait ces fonctions ,
je pense que je vais tracer sur maple pour voir quelles sont leur allures.

Donc déjà pour fixer les notions,  le cas irrationnel.

Soit .

Pour tout .
Si je considère la partie réelle .
est majoré par 1, donc admet un sup,
et si j'ai bien compris ce sup est l'élément qu'on recherche: .

Mais je vois pas quel raisonnement suivre pour déterminer cet élément.

Salut,

c'est quoi l'enveloppe supérieure?

Salut Cauchy,

une enveloppe supérieure d'une famille de fonctions numériques ,

qu'on note , est la fonction f telle que , pour tout .

Il me semble que ça correspond à la borne supérieure ponctuelle d'une famille de fonctions numériques.

Ok,

bien si x est irrationnel,je pense qu'on peut utiliser le fait que  2pixZ+2piZ est dense dans R car 2pix/2pi=x est irrationnel.

Donc tu peux approcher par exemple il existe n et k tel que |2pixn+2kpi-pi/2|<eps,et donc par continuité du sinus,tu peux t'approcher aussi près que tu veux de 1.

Après je sais pas si tu connais ce résultat(et il y a surement plus rapide mais je vois pas),ca vient de la structure des groupes additifs de R,si c'etait non dense ce serait un groupe de la forme aZ et dans ce cas on aboutirait à x rationnel.

Salut,
Cauchy j ai revu ce résultat sur les sous-groupes additifs de ,
et j'ai suivi le plan que tu m as donné.
Jusqu'ici aucun problème .

Je vais regarder pour le cas rationnel maintenant.

euh je vois pas trop comment on peut faire pour le cas où x est rationnel,

désormais n'est plus dense dans R,

donc apparemment il faut procéder autrement.

Si x est rationnel il s'écrit x=p/q avec p et q premiers entre eux.

Par périodicité du sinus,il suffit de regarder les valeurs pour n=0,...q.

D'accord.

Si je teste x = 1/2,
je vois que pour tout entier n, .

Donc apparemment c est pas toujours égal à 1.

Bien oui pour les rationnels,tu n'as qu'un nombre fini de valeurs prises par le sinus vu que tu boucles,après ca dépend de p et q le max.

D'accord, merci Cauchy.

Encore une question, j'essaie de montrer que les seuls rationnels x pour lesquels, l'enveloppe sup est 1, sont les rationnels qui ont une fraction irréductible du type p/4q.

Déjà pour voir si les rationnels de ce type on leur enveloppe sup qui atteint 1,
on a donc p impair, p et q premiers entre eux.

pour tout n, .

Et là, je vois pas trop comment exploiter cette égalité.

Dans ta fraction,p est premier avec 4q?

oui.

Déja p est impair,on a donc:

et donc ca vaut 1 si ,sinon on a

J'aurai du faire un apercu

Est ce qu'un modérateur peut modifier mon message? (Kaiser? )

ne t'inquiète pas, si je comprends bien, j ai juste à remplacer par .

Oui c'est cela mais ca fait pas top

Merci

Salut,
merci pour ton aide Cauchy.
Il ne me reste plus que le cas où x n'est pas une fraction irréductible de la forme p/4q, montrer que l'enveloppe sup est différente de 1.
Je vais chercher un peu

Salut,

ok je pense que ca doit être de la même veine

Salut Cauchy,

oui, j'ai montré que que si x = p/q (p et q premiers entre eux) est rationnel et l'enveloppe sup est égal à 1,
alors q est nécessairement un multiple de 4.

Ok,bon bien c'est fini il me semble

vi