Niveau Maths sup

épigraphe et enveloppe inférieure

Posté par
romu 18-05-07 à 21:22

Bonsoir,
dans mon cours sur les fonctions numériques, j'ai le résultat suivant :

Soit $(f_i)_{i \in I}$ une famille de fonctions de E dans $\overline{\mathbb{R}}$ .
Notons $A(f)$ l'épigraphe d'une fonction de E dans $\overline{\mathbb{R}}$ .

Lorsque I est fini, on a $A(\inf_{i \in I} f_i) = \bigcup_{i \in I} A(f_i)$ .

Si I est infini, on a seulement $A(\inf_{i \in I} f_i) \supset \bigcup_{i \in I} A(f_i)$ .

Pour montrer l'égalité quand I est fini, j'ai fait :

$(x,y) \in A(\inf_{i \in I} f_i) \Longleftrightarrow y \geq \inf_{i \in I} f_i(x)$

                           $\Longleftrightarrow \exists i \in I\ :\ y \geq f_i(x)$

                           $\Longleftrightarrow \exists i \in I\ :\ (x,y) \in A(f_i)$

                           $\Longleftrightarrow (x,y) \in \bigcup_{i \in I} A(f_i)$
Donc si je comprends bien lorsque I est infini, on a plus l'équivalence

$y \geq \inf_{i \in I} f_i(x) \Longleftrightarrow \exists i \in I\ :\ y \geq f_i(x)$ ,

mais seulement l'implication :

$y \geq \inf_{i \in I} f_i(x) \Longleftarrow \exists i \in I\ :\ y \geq f_i(x)$ ,

mais je ne vois pas du tout pourquoi?

Merci pour votre aide.

Posté par re : épigraphe et enveloppe inférieure 18-05-07 à 21:40

Prends un contre-exemple :

si y=inf fi(x)

imagine que toutes les fonctions fi vérifient fi(x)>y, cela veux dire qu'il existe une suite fn(x) qui tende vers y sans jamais être égal...

Posté par Bluberry (invité)re : épigraphe et enveloppe inférieure 18-05-07 à 22:07

Bonsoir,

pour compléter, un exemple : $f_n(x)={\frac {1}{nx}}\ alors \ 0=\inf_{n \in {\mathbb{N} ^{*}}}f_n(1) \ et \ pourtant, \ quel \ que \ soit \ n \in \mathbb{N}^{*}, \ 0 \ < \ f_n(1)$

Posté par re : épigraphe et enveloppe inférieure 18-05-07 à 22:32

Bonsoir kingcrimson et bluberry,
d'accord je comprends,
merci pour votre aide

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