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epreuve II, inspecteur des impôts 2005
Je profite de ce Dimanche après midi ensoleillé, et quelque peu endeuillé ce matin par l'exécution capitale d'un gibier de potence, dûment prénommé "beau lièvre" pour poster l'exo 1 de l'épreuve 2 de ie 2005 (y'a pas longtemps):
On nomme dans un repère orthonormé T1 et T2, les courbes planes paramétrées suivantes:
T1 :
x = (t/2) + [1/(2t)]
y= (2/t) - (1/t²)
T2 :
x= t + (1/t)
y = (1/t²) -(2/t)
1) Montrer que T1 se déduit aisément de T2 par une tranformation simple du plan que l'on précisera.
On désigne now M(t) le point courant de T2 de coordonnées x(t) et y(t).
2) On note m(t) la pente de la tangente à T2 au point M(t).
Etablir l'expression de m(t).
3) Montrer alors que la quantité d²y/dx² est du signe de x'(t)m'(t) puis établir l'expression de x'(t)m'(t).
4)Déduire suivant t de la concavité de T2.
Voilà. (Ce sont les questions qui m'ont posées pb...)
Je précise que cela va m'être utile pour les épreuves...........de l'année prochaine!
Merci.
Si c'est l'intro qui vous choque, n'y prêtez pas d'attention. (Désolé, je suis pas modo., je peux pas effacer mes dires).
Aller, positive attitude!
Bonjour derby3
x1=x2/2
y1=-y2
T1 se déduit de T2 par une homothétie de rapport 2 sur l'axe Ox et d'une symétrie par rapport à l'axe des x
(ça porte peut-être un nom mais je ne le connais pas...)
la courbe T2 en image,
Philoux
Re
si tu cherches dy/dx en x° qui est le nombre dérivée en x° :
dy/dx = (dy/dt).(dt/dx)
exprimes dy/dt et dx/dt et simplifies : tu trouveras m(t)=2/(t(t+1))
Vérifie...
Philoux
Pour un même t, en désignant par x1, y1 les coordonnées sur T1 et x2,y2 celles sur T2 on a
x1=x2/2 et y1=-y2 soit la composition d'une homothétie de centre O de rapport 1/2 et d'une symétrie axiale par rapport à Ox
m(t)=y'(t)/x'(t)=2/t²*(1-1/t)/(1-1/t²)=2/t²/(1+1/t)=2/t(1+t)
d²y/dx²=m'(t)/x'(t)=m'(t)x'(t)/x'²(t) donc de même signe que m'(t)x'(t)=-2(2t+1)/t²(1+t)²*(1-1/t²)=-2(2t+1)/(t²-1)(1+t)²
Pour t<-1, x'(t)>0 et d²y/dx²>0 concave
-1<t<-1/2 x'(t)<0 et d²y/dx²<0 concave
-1/2<t<1 x'(t)<0 et d²y/dx²>0 convexe
1<t x'(t)>0 et d²y/dx²<0 convexe
je ne suis pas certain du reste :
dy/dx = m(t)
d²y/dx² = ( d( dy/dx)/dt ).(dt/dx) = m'(t)/x'(t)
le signe de d²y/dx² est bien du signe de m'x' puisque c'est celui de m'/x'
tu dérives m(t) et x(t) et tu dois arriver, sauf erreur, à -(2t+1)/[(t-1)(t+1)(t+1)²]
les valeurs de t qui influent sur la concavité sont donc -1, -1/2 et 1
Vérifie...
Philoux
Bonjour piepalm
pourquoi la courbe est concave pour t<-1 ?
Je ne vois pas mon erreur...
Philoux
Lire
Pour t<-1, x'(t)>0 et d²y/dx²>0 concave
-1<t<-1/2 x'(t)<0 et d²y/dx²<0 convexe
-1/2<t<1 x'(t)<0 et d²y/dx²>0 concave
1<t x'(t)>0 et d²y/dx²<0 convexe
philoux, il y avait une erreur dans ce que j'ai écrit, mais il y a aussi peut-être un problème de définition: pour moi y= x² est concave, y=
x est convexe,
est convexe une fonction f telle que f((a+b)/2)>=(f(a)+f(b))/2, mais je peux me tromper...
Sauf erreur, la convexité serait l'opposé de ce que tu as écrit :
x² est (serait) convexe
selon wiki :
Une fonction f dérivable sur I est convexe (respectivement : concave) sur I si et seulement si sa courbe représentative est "au-dessus" (respectivement : "au-dessous") de chacune de ses tangentes.
cf wiki : 
dont une image est ci-dessous
Philoux
Au temps pour moi, il faut que révise mes définitions!
C'est finalement une notion que l'on emploie peu: on dit plutôt (et là il n'y a pas ambigüité,) que la concavité est tournée vers les x >O , ou vers le pôle, etc...
Et cela ne recoupe pas la notion de courbe fermée convexe...
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