bonjour

SSM : y'+y/x=0 => y'/y=-1/x => ln(y) = -lnx + K  => y=exp(K-lnx)

...

Vérifie...

Philoux

en fait je l'ai refait et je trouve un truc qui colle avec mon exo: ln(1-x)+K
Mais comment montrer qu'il existe une seule fonction de classe C1 sur les intervalles ]-oo,0[ et ]0,1[ prolongeable par continuité en 0.
ensuite pouvez vous m'aider car je bloque sur quelques points de l'exo:
alors on définit f sur ]-oo,1[ par f(x)=-ln(1-x)/x si x différent de 0 et f(0)=1
j'ai étudié comme il me le demande le signe de phi(x)=x/(1-x)+ln(1-x) mais comment en déduire les varaitions de f?

ensuite h(t)=-ln(1-t) j'ai calculer h^n(t) et il me demande de justifier l'égalité h(x)=sum x^k/k,k=1 à n+1 +int (0àx) (x-t)^(n+1)/(1-t)^(n+2) dt comment faire?

ensuite j'ai deux autres petites questions pour cette partie qui me bloque il faut que j'établisse pour tout réel t de l'intervalle  [0,x] l'inégalité 0<=(x-t)/(1-t)<=x j'ai essayer de dérivée en passant de l'autre coté mais ca marche pas. ensuite il faut que j'en déduise 0<=f(x)-sum x^k/(k+1) de k=0àn<=x^(n+1)f(x) j'y arrive pas non plus

merci bcp

besoin d'aide, quelqu'un pour m'aider?

de l'aide please

vraiment personne pour m'aider?

pourquoi personne ne veut m'aideR?

Bonsoir margotte

Tout d'abord, la solution générale de l'équation différentielle sur chaque intervalle et est donnée par où K est une constante.

Pour voir si l'on peut recoller deux solutions définies respectivement sur ces deux intervalle, il faut prendre des constantes a et b quelconques et considérer la fonction f définie par et voir à quelles conditions sur a et b f est prolongeable par continuité en une fonction de classe sur .
Le prolongement par continuité impose clairement que a=b=0 (car sinon, les limites en 0 ne sont pas finie).
On voit ensuite que la fonction ainsi définie en prenant f(0)=1 est de classe (en montrant que f' admet une limite finie en 0).

Ensuite, il suffit de remarquer que pour tout x, on .

Pour la suite, il suffit d'appliquer la formule de Taylor avec reste intégrale.

Kaiser

merci merci merci beaucoup je vais regarder si j'y arrive

Mais je t'en prie !

kaiser j'ai un pblem dès le début comment trouves tu
f(x)=(K-ln(1-x))/x

Comme d'habitude, ce genre d'équation se résout en 2 temps.
D'abord, on résout l'équation homogène et on trouve par la méthode habituelle que les solutions sont de la forme avec K une constante.
Ensuite, on détermine une solution particulière à l'aide de la méthode de variation de la constante et on trouve par exemple x.

oui c ce que j'ai fait mais je dois faire une erreur parce que j'obtiens (1/x)k'(x)=1/(x(1-x)) les 1/x s'en vont et du coup ca marche pas en plus je trouve pas mon erreur, au fait une question subsidiare, si je devais montrer que f défini dans mon exo est de classe C1 sur ]-oo,1[ comment le faire avec une méthode et rédaction impeccable ?

En simplifiant par , tu te retrouves avec l'équation .
Je te laisse continuer.
En ce qui concerne le problème de rédaction :

Le seul problème qu'il faut traiter est en 0. Partout ailleurs, la fonction est clairement de classe .

-Continuité en 0 :
Soit x non nul
.

Or on sait que
Donc , d'où la continuité de f en 0.

-caractère de f en 0:
Il suffit de dériver f et de montrer que f' admet une limite finie en 0.
(on utilise ici le théorème de prolongement des fonctions de classe )

merci bcp je vais réfléchir sur ca mais pour f'(x) c'est -phi/x²

non ca marche pas pour les variations de f j'y arrive pas ...

alors meme quand j'applique taylor reste intégral ca marche pas  j'ai du factoriel devant et ca me donne pas la formule ensuite je suis toujours bloquée pour


ensuite j'ai deux autres petites questions pour cette partie qui me bloque il faut que j'établisse pour tout réel t de l'intervalle  [0,x] l'inégalité 0<=(x-t)/(1-t)<=x j'ai essayer de dérivée en passant de l'autre coté mais ca marche pas. ensuite il faut que j'en déduise 0<=f(x)-sum x^k/(k+1) de k=0àn<=x^(n+1)f(x) j'y arrive pas non plus

merci encore

Je confirme que (N'oublie pas que lorsque tu dérives ln(1-x), un signe "moins" apparaît).

Pour étudier le signe de , étudie ses variations.

Que trouves-tu pour la dérivée n-ième de h ?

j'ai trouvé que phi x était postive sur -oo ,1 donc f'(x) positif donc f croissante ok alors ca marche pour ca
pour la dérivée n ieme je trouve (-1)^n*(n-1)!/(t-1)^n

quand je dérive je trouve -1/(x(x-1))+ln(1-x)/x² et ca marche pas pour f' je dois faire une erreur

C'est bien ça la dérivée de f. Où est le problème ?

désolé je devais pas etre trop réveillée!
Comment faire pour

il faut que j'établisse pour tout réel t de l'intervalle  [0,x] l'inégalité 0<=(x-t)/(1-t)<=x j'ai essayer de dérivée en passant de l'autre coté mais ca marche pas. ensuite il faut que j'en déduise 0<=f(x)-sum x^k/(k+1) de k=0àn<=x^(n+1)f(x) j'y arrive pas non plus

encore merci

pour la première partie de la question, il suffit de former la différence et de montrer que c'est négatif en utilisant le fait que x est strictement inférieur à 1, de même que t.

j'ai un petit problème comment trouver  que f' admet une limite finie en 0 pour la continuité je dois trouver 1/2 et j'y arrive pas

au fait la question avec reste intégral ca marche pas peux tu m'aider?

Bonjour margotte

utilise le DL de ln(1+u) en 0.
Rappel :

Kaiser

Il suffit d'appliquer la formule à la lettre :


Ensuite, il suffit de remplacer

Kaiser