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equa dif

Posté par
babass 13-10-07 à 21:40

bonsoir
comment resoudre


y" + 2y' +y = cos x

jai calculer delta mais apre sui bloker

Posté par
babassre : equa dif 13-10-07 à 21:42

je trouver delta = 0

mais apres je suis coincer

Posté par
fusionfroidere : equa dif 13-10-07 à 21:42

Salut

Etape 1 : équation homogène associée à l'équadiff

Etape 2 : remarquez que cos=1/2(exp(ix)+exp(-ix)

Résoudre : y''+2y'+y=exp(ix) puis  y''+2y'+y=exp(-ix)

Etape 3 : superposition des solutions et ne pas oublier 1/2

Bon c'est la méthode basique mais je pense qu'il ya d'autres méthodes

Posté par
babassre : equa dif 13-10-07 à 21:46

je ne comprend pas l'etape  2 & 3

Posté par
fusionfroidere : equa dif 13-10-07 à 21:49

Bah tu n'as pas vu ça en cours ? On décompose cos(x)

Posté par
babassre : equa dif 13-10-07 à 21:50

euh non

en faite je revise mon DS et je prend des exercices sur le net je je ve savoir resoidre cette forme

y" + 2y' +y = cos x

Posté par
fusionfroidere : equa dif 13-10-07 à 21:52

eh bien il faut décomposer le cos(x) en exponentielles car c'est assez dur de trouver une solution particulière de ton équation.

Mais si ton second membre un polynôme exponentiel, alors là tu sais résoudre...il suffit de chercher une solution particulière sous la forme P(x)exp(ix)

Posté par
babassre : equa dif 13-10-07 à 21:54

cos=1/2(exp(ix)+exp(-ix) c'est une formule ???


y''+2y'+y=exp(ix) puis  y''+2y'+y=exp(-ix)

comment resoudre avec des expo??

Posté par
fusionfroidere : equa dif 13-10-07 à 21:55

Citation :
cos=1/2(exp(ix)+exp(-ix)) c'est une formule ???


ben oui, c'est Euler...

Posté par
fusionfroidere : equa dif 13-10-07 à 21:55

Citation :
comment resoudre avec des expo??


Je te l'ai expliqué ...

Posté par
babassre : equa dif 13-10-07 à 21:59

sa ne m'avance pas trop :/

y''+2y'+y=exp(ix) puis  y''+2y'+y=exp(-ix)

Posté par
fusionfroidere : equa dif 13-10-07 à 22:01

On considère y''+2y'+y=exp(ix)

On peut cherhcer une solution particulère sous la forme y_1(x)=ax exp{ix}

Posté par
fusionfroidere : equa dif 13-10-07 à 22:13

grrr juste y_1(x)=aexp{ix}

Posté par
babassre : equa dif 13-10-07 à 22:17

bon tempis jai pas compris

Posté par
fusionfroidere : equa dif 13-10-07 à 22:18

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

Tu sais je ne suis pas prof, je t'aide du mieux que je peux

Posté par
babassre : equa dif 13-10-07 à 22:20

bah quand j'ai de la forme


y" + 2y' +y = constante
je comprend mais avec cos x pas du tout

Posté par
fusionfroidere : equa dif 13-10-07 à 22:22

Quand on a une équadiff de la forme :

4$ay^{''}+by^'+y=exp{\beta x}, on cherche des solutions particulières de la forme :

4$y_1(x)=P(x)exp{\beta x} où P est un polynôme dont le degré est à déterminer.

Ca va mieux ?

Posté par
fusionfroidere : equa dif 13-10-07 à 22:22

Je me ramène à une forme exponentielle car c'est assez simple de trouver les sol particulières lorsque le second membre est un exponentielle

Posté par
babassre : equa dif 13-10-07 à 22:24

j'ai chcher dans mon cours

mais je n'est que de la forme avec sin x

je peut faire pareil ??

Posté par
fusionfroidere : equa dif 13-10-07 à 22:24

Tu peux me montrer ce que dis ton cours ?

Posté par
babassre : equa dif 13-10-07 à 22:27

y" + 9y = sin (wx)

y" + 9y = 0 equa homogene

delta = -36

2solution r1 = 3i
r2 = -3i


y = (A cos 3x + B sin 3X) solution  de l'qaution homogene

Posté par
babassre : equa dif 13-10-07 à 22:30

voila mon cour

Posté par
fusionfroidere : equa dif 13-10-07 à 22:30

Je suis d'accord mais tu m'as dit que tu savais résoudre l'équa homogène...

Depuis tout à l'heure je te montre comment trouver des solutions particulières de ton équadiff

C'est pas pareil !

Posté par
babassre : equa dif 13-10-07 à 22:34

je ne sait pas ske je fait

japlique mon cour a la lettre
:p

Posté par
fusionfroidere : equa dif 13-10-07 à 22:37

Bon pour la solution de l'équat homogène c'est bon ?

Posté par
babassre : equa dif 13-10-07 à 22:38

oue apres je suis perdu

Posté par
fusionfroidere : equa dif 13-10-07 à 22:44

Donc on veut trouver une solution particulière de (E)

POur cela on utilise la méthode de superposition.

On résout :

(E_1) 4$y^{''}(x=+2y^{'}+y=\frac{1}{2}exp{ix}

(E_2) 4$y^{''}(x=+2y^{'}+y=\frac{1}{2}exp{-ix}

Posté par
fusionfroidere : equa dif 13-10-07 à 22:45

On résout :

(E_1) 4$y^{''}(x)=y^{''}+2y^{'}+y=\frac{1}{2}exp{ix}

(E_2) 4$y^{''}(x)=y^{''}+2y^{'}+y=\frac{1}{2}exp{-ix}

Posté par
fusionfroidere : equa dif 13-10-07 à 22:45

ya pas de égal après y^{''}

Posté par
babassre : equa dif 13-10-07 à 22:54

jpige pas du tt ^^

Posté par
fusionfroidere : equa dif 13-10-07 à 23:07

Soit 4$y_1(x) une solution particulière de 4$(E_1) et 4$y_2(x) une solution de 4$(E_2)

Alors on a : 4$y_1^{''}+2y_1^{'}+y_1=\frac{1}{2}exp{ix} et 4$y_2^{''}+2y_2^{'}+y_2=\frac{1}{2}exp{-ix}

En additionnat les deux égalités, on a :

4$(y_1+y_2)^{''}+2(y_1+y_2)^'+y_1+y_2=\frac{1}{2}exp{ix}+\frac{1}{2}exp{-ix}=cos(x)

Cela justifie le fait que l'on "coupe" le cosinue en deux morceaux.

En effet, un second membre avec une exponentielle est plus facile à traiter qu'un second membre avec un cosinus...

Posté par
babassre : equa dif 13-10-07 à 23:15

la suis daccord avec toi
sa revien a resoudre de equa dif avec des expo ??

y''+2y'+y=exp(ix) puis  y''+2y'+y=exp(-ix)

Posté par
fusionfroidere : equa dif 13-10-07 à 23:16

exactement !!!!!

Ok tu n'es pas obligé de mettre le 1/2 mais il ne faudra pas l'oublier quand tu additionnera les deux solutions

Posté par
babassre : equa dif 13-10-07 à 23:25

je n'est jamais resoud avec des expo :/

Posté par
fusionfroidere : equa dif 13-10-07 à 23:27

Bah je vais t'expliquer.

Pour résoudre (E_1) il suffit de chercher une solution particulière de la forme y_1(x)=P(x)exp{ix} avec P un polynôme d'un certain degré.

Ici, tu peux choisir le degré égal à 1 donc P(x)=a

Tu cherches donc des soltuoins sous la forme y_1(x)=a exp{ix}

Remplace y_1 dans (E_1) et tu vas trouver a

Posté par
babassre : equa dif 14-10-07 à 00:22

je verais demain je suis fatiguer merci pour tout

Posté par
babassre : equa dif 14-10-07 à 10:42

bon je recapitule depuis le debut
y" + 2y' +y = cos x

y" + 2y' +y = 0  equation homogene

r² + 2r +1 =0 equation carateristique


delta  =b² - 4ac

      = 0

apres suis bloquer

Posté par
babassre : equa dif 14-10-07 à 11:46

comment proceder??


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