Bonjour.

Si nous sommes dans R*₊ : pour tout x € R*₊, il existe un unique t € R tel que x = e^t.

Posons g(t) = f(e^t). Alors :

g(t) = f(e^t)

g'(t) = f'(e^t).e^t

g"(t) = f"(e^t).e^2t + f'(e^t).e^t

Alors, x = e^t

ax².f "(x) + bxf '(x) + cf(x) = 0

<==> ae^2tf "(e^t) + be^tf '(e^t) + cf(e^t) = 0

<==> a[e^2tf "(e^t) + f '(e^t)] + (b-a)f '(e^t)e^t + cf(e^t) = 0

<==> ag"(t) + (b-a)g'(t) + cg(t) = 0

Sauf erreurs de frappe.

A plus RR.

A)

f(x) = g(lnx)

f '(x) = (1/x) * g'(ln(x))

f ''(x) = -(1/x²) * g'(ln(x)) + (1/x²).g''(ln(x))
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g'(ln(x)) = x.f '(x)

x².f ''(x) = -g'(ln(x)) + g''(ln(x))
x².f ''(x) = -x.f '(x) + g''(ln(x))

g''(ln(x)) = x.f '(x) + x².f ''(x)

ax².f ''(x) + bx.f '(x) + cf(x) = a(-x.f '(x) + g''(ln(x))) + b.g'(ln(x)) + c.g(lnx)
ax².f ''(x) + bx.f '(x) + cf(x) = a(-g'(ln(x)) + g''(ln(x))) + b.g'(ln(x)) + c.g(lnx)
ax².f ''(x) + bx.f '(x) + cf(x) = a.g''(ln(x)) + (b-a).g'(ln(x)) + c.g(lnx)

et en posant t = ln(x) (t dans R et x dans R+*) -->
ax².f ''(x) + bx.f '(x) + cf(x) = a.g''(t) + (b-a).g'(t) + c.g(t)

et donc ax².f ''(x) + bx.f '(x) + cf(x) = 0 pour x > 0 <==> a.g''(t) + (b-a).g'(t) + c.g(t) = 0 pour t dans R+*
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B)
x²y''+3xy'+y=0

Par le point A :

a = 1, b = 3 et c = 1
--> g''(t) + 2g'(t) + g(t) = 0

p²+2p+1 = 0
(p+1)² = 0
p = -1 (racine double)

g(t) = A.e^-t + Bt.e^-t
f(e^t) = A.e^-t + Bt.e^-t
f(x) = A/x + (B/x).ln(x) Avec A et B des constantes réelles.

y = A/x + (B/x).ln(x)
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C)

Solution particulière  de x²y''+3xy'+y==1+x²
de la forme y = Ex² + Fx + G

... On arrive a : y = (1/9)x² + 1

Solution générale de de x²y''+3xy'+y==1+x²:
y = (1/9)x² + 1 + A/x + (B/x).ln(x)
Avec A et B des constantes réelles.
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Sauf distraction. A vérifier.  

Salut raymond,

Il y a juste une chose qui qui me tracasse, d'habitude quand j'ai f(-x) et que je le dérive j'ai -f'(-x) et non pas -xf'(-x) (non?!).

Enfait, on introduit une fonction de facon a éliminer tout les x dans l'équa-diff, et il ne reste plus qu'a résoudre comme si c'était une simple équa-diff.puis pour avoir la solution finale il ne me faudra pas oublier que t=ln(x) => donc j'applique la fonction ln a toute la solution et je remplace t par x. c'est ca? je vais essayer de le faire!

merci raymond!

j'avais pas vu ce que tu avais écrit J-P (j'écrivais mon message). je vais lire ca et voir si j'y arrive tout seul ensuite!

merci beaucoup

Quelle est la dérivée de exp(x) ?

Quelle est la formule de dérivation de f[u(x)] ?

A plus RR.

[exp(x)]'=exp(x)

et f[u(x)]=u'(x).f'(x) ... et dans mon cas u(x) c'est exp(x)!

Voila.

Bonjour J-P quel beau travail !

A plus RR.

super! je pense avoir bien compris.

C'est le meme principe que pour résoudre par exemple : y''+y'+y=sin(x).e^x
Là on a le choix en utilisant la formule de Euler pour le sinus, ou bien d'introduire une fonction z : y=z.e^x pour éliminer e^x.

Pour mon exercice vous avez utilisé la fonction g donnée pour éliminer les x.


Dans mon exercice, on nous donnait la fonction inconnue, mais pour les autres fois je pense que je devrais la trouver tout seul : donc ma question est la suivante, il y a une méthode pour bien trouver la fonction?

Encore merci J-P, et raymond pour votre aide!

Vérification :

y = (1/9)x² + 1 + A/x + (B/x).ln(x)

y' = (2/9)x - (A/x²) - (B/x²)ln(x) + (B/x²)

y'' = (2/9) + (2A/x³) + (2B/x³).ln(x) - (B/x³) - (2B/x³)
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x²y = (2/9)x² + (2A/x) + (2B/x).ln(x) - (B/x) - (2B/x)
x²y = (2/9)x² + (2A/x) + (2B/x).ln(x) - (3B/x)

3xy'= (2/3)x² - (3A/x) - (3B/x)ln(x) + (3B/x)

x²y + 3xy' + y = (2/9)x² + (2A/x) + (2B/x).ln(x) - (B/x) - (2B/x) + (2/3)x² - (3A/x) - (3B/x)ln(x) + (3B/x) + (1/9)x² + 1 + A/x + (B/x).ln(x)

x²y + 3xy' + y = ((2/9) + (2/3) + (1/9))x² + 1

x²y + 3xy' + y = x² + 1

Et donc il semble bien que :
y = (1/9)x² + 1 + A/x + (B/x).ln(x) avec A et B des constantes réelles sont bien les solutions de x²y''+3xy'+y = 1+x² comme demandé.

Non ?
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Si! mais ce qui me titille, c'est pourquoi tu pose y=Ex²+Fx+G
y ne peux pas etre uen solution particuliere et en meme temps une solution generale de l'equa-diff (non?).
Si je pose plutot k=Ex²+Fx+G c'est bon ou bien c'est faux?

c'est ca qui m'emebte maintenant!

Le meilleur conseil à te donner est de relire ton cours sur la résolution des équations différentielles.

Revoir les notions de solutions de l'équation avec le second membre égal à 0, de solution particulière de l'équation avec second membre complet et enfin de solutions générales de l'équation avec second membre complet.