En dérivant 2 fois f on trouve:
f''(t)= sh(t) y'(sh(t)) + ch²(t) y''(sh(t))
Avec un peu de trigo hyperbolique, on se rend compte que (E) équivaut à
f''(t)-k²f(t)=0 qui se résout facilement. Il suffit ensuite d'inverser sh(t) pour retrouver des fonctions en x.

en faisant ça, j'obtiens les solutions suivantes :

x -> Ae^(k.Argsh(x)) avec A

est-ce que c bon ?
il faudrait que je remplace Argsh(x) par ln(x+(1+x²)) non ?
ça donnerait x -> A.(x+(1+x²))^k ??

apres, on me demande de prouver qu'il existe une et une seule solution telle que y(0)=1 et y'(0)=-1
ça me détermine donc A et K
mais le pb c qu'apres, il faut que je montre que la courbe de cette solution particulière est paramétrée par le système : x=sht et y=ch(kt)-(1/k)sh(kt)

je ne comprends pas comment on obtient ce systeme et surtout pourquoi k reste indéterminé...
help please !