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équa diff

Posté par paulineth (invité) 08-01-05 à 14:31

Bonjour, j'ai un exo sur les equa diff et j'y arrive po
Voila l'énoncé:
soit l'équa diff:  y'(x)+y(x)*tan(x)=-[2*x*cosx/(1+x²)²] avec y(0)=1
1) on désire déterminer le comportement de y au voisinage de 0 à l'aide de son developpement limité à l'ordre 3. Pour cela, on exprime le DL de y' au voisinage de 0 sous la forme
y'(x)=A1+2*A2*x+3*A3*x²+4*A4*x^3 ou A1, A2, A3, A4 sont des coeff que l'on va déterminer.
   a) déterminer un DL de y au  voisinge de 0.Quel est son ordre?
Je trouve  1+A1*x+2*A2*x²+3*A3*x^3+4*A4*x^4, soit un ordre de 4.
   b) en déduire le DL a l'odre 3 au voisinage de 0 du premier membre de (P) en fonction des Ai
A partir de la, je bloque!
   c) Calculer le DL au voisinage de 0 à l'ordre 3 du second membre de (P)
   d) Par identification des DL des 2 membres de (P) obtenus ci-dessous, calculer les Ai.Quel DL au voisinage de 0 obtient-on ainsi pour y'?pour y?

Merci de bien vouloir essayer de m'aider
@+

Posté par
franzre : équa diff 08-01-05 à 18:52

1a/
Tu as le droit d'intégrer un DL. il faut pour cela intégrer chacun des termes. Du coup

y=a_0+a_1x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4

et d'après l'énoncé a_0 =1

Posté par
franzre : équa diff 08-01-05 à 19:02

1b/
en 0 :
\tan(x) = x + \frac 1 3 x^3 + o(x^4)

\tan(x).y(x) = (x + \frac 1 3 x^3)\;(a_0+a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4)\; + o(x^4) = a_0 x + a_1 x^2 + \(\frac {a_0} 3 + a_2\) x^3 + o(x^3)
Et donc
   \fbox{\Large \red y^'(x)+\tan(x).y(x) = a_1 + (a_0+2a_2) x + (a_1+3a_3) x^2 + \(\frac {a_0} 3 + a_2+4a_4\) x^3 + o(x^3)}


Je te laisse continuer la suite. Relance-moi si tu as d'autres problèmes.

Posté par paulineth (invité)merci pour le début franz 09-01-05 à 10:58

mais après je comprends pas trop ce qui est entendu par "le premier membre de (P) et le second membre de (P)":faut que j'exprime (P) sous la forme d'un polynome*exponentielle??
Merci de m'aider, c'est sympa

Posté par
franzre : équa diff 09-01-05 à 13:48

Il est vrai que (P) n'est pas défini mais le premier membre de (P) signifie pour moi le terme à gauche du signe "=" c'est à dire ce que j'ai encadré en rouge.
Il faut à présent faire le DL de ce qui est à droite
( -[2*x*cosx/(1+x²)²] ) et d'identifier les DL pour en extraire les a_i

Posté par paulineth (invité)merci 10-01-05 à 17:57

j'ai fait le DL de -2x*cos(x), je trouve -2x+x^3-x^5/12+x^7/360
Pour le DL de (1+x²)², je trouve 1+2x²+x^4,
d'ou le DL de la fraction:
-2x+5x^3
et par identification, je trouve A1=0; A2=-3/2; A3=0; A4=37/24
Merci de bien vouloir me confirmer ces réponses franz!

Posté par
franzre : équa diff 11-01-05 à 21:22

Oui c'est tout à fait bon.

Pour info y(x) = \frac {\cos x}{1+x^2}


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