dy/dx = (ay+b)/(cy²+dy+e)

dx = [(cy²+dy+e)/(ay+b)] dy

On fait la division [(cy²+dy+e)/(ay+b)] et on trouve un truc de la forme:

[(cy²+dy+e)/(ay+b)] = Ay + B + (C/(ay+b))

Avec A, B et C fixés par a, b,c et d.

-->

dx = [ Ay + B + (C/(ay+b))] dy
On intégre et il vient:

x + K = Ay²/2 + By + (C/a).ln|ay+b|

On a donc x = f(y)

Mais si tu veux y en fonction de x, alors là ...
-----

Merci J-P

Pour la formulation y=f(x), n'y aurait-il pas des cas sur A,B et C (soit sur a,b,c,d et e) tels que l'on pourrait la faire ?

hormis C=0 ou A=B=0

Sait-on exprimer y(x) pour x= ay+ln(y) ou x=ay²+ln(y) ?

Merci à l'avance,

Philoux

Bonjour philoux,bonjour J-P (Correcteur);
*pour que l'équation ait un sens il faut imposer la conditon
*si les solutions sont celles de
*supposons désormais l'équation s'écrit:
qui admet pour solutions où est une primitive de sur son domaine de définition.

Merci elhor,

Pourquoi G^-1(x+c) ?

Philoux

Le c de elhor_abdelali est le K de ma réponse.

La réponse de elhor_abdelali est, me semble-t-il, exactement la même que la mienne mais exprimée avec d'autres mots.

Le problème est toujours de passer de G  à G^-1


En reliant les 2 réponses, on a:

x + K = Ay²/2 + By + (C/a).ln|ay+b|

Soit G(x+K) = Ay²/2 + By + (C/a).ln|ay+b|

et trouver G^-1 signifie bien à partir de là exprimer y en fonction de x.

Enfin, si j'ai bien interprété le message de elhor_abdelali
-----

Bonjour

Le problème est toujours de passer de G à G^-1

Oui

Merci pour l'explication du lien entre le c d'elhor et le K de J-P

Pour continuer dans le même topic, je bute aussi sur cette équa. diff.

y' = (ay²+by+c)/(py^3+qy²+ry+s)

Y a-t-il une méthode générale pour la résoudre ?

(_{Je crois que J-P a peut être répondu à 9:13 mais il me tarde de savoir} )

Philoux

Bonjour

Le problème est toujours de passer de G à G^-1

Oui

Merci pour l'explication du lien entre le c d'elhor et le K de J-P

Pour continuer dans le même topic, je bute aussi sur cette équa. diff.

y' = (ay²+by+c)/(py^3+qy²+ry+s)

Y a-t-il une méthode générale pour la résoudre ?

(_{Je crois que J-P a peut être répondu à 9:13 mais il me tarde de savoir} )

Philoux

Non Philoux ma réponse était très concise.
Comme cela ne donne aucune aide dans l'énigme, voila une copie de la réponse que j'ai fournie (ceux qui ne sont pas au courant vont se demander de quoi je parle ).

Salut philoux,

Le débit de fuite dépend de la pression de l'eau au niveau du trou et donc de la hauteur d'eau.
Mais en pratique, la loi qui lie le débit de fuite à la hauteur d'eau n'est certainement pas pile une loi de proportionnalité.
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Mais ne nous étendons pas là dessus aujourd'hui.
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Par contre rien ne s'oppose à ce que ceux qui le veulent tentent de résoudre l'équation que tu proposes.

>J-P 10:15

Ok merci pour la réponse à la question physique.

Autrement dit, quelle que soit la forme du récipient, seule la hauteur d'eau sera déterminante sur le débit de la fuite.

Mon BSP ( Bon Sens Paysan ) a été mis en défaut.

Sauf s'il faut entrer loin en théorie, peux-tu me (dé)montrer pourquoi la pression de l'eau ne dépend que de la hauteur ? (mes cours de physique sont lointains...) ?

Sinon cette équa. diff. de 10:06 reste en suspend :

y' = (ay²+by+c)/(py^3+qy²+ry+s)

Si d'aucuns ont des pistes de reflexion, merci à eux.

Philoux

Pour y' = (ay²+by+c)/(py³+qy²+ry+s)

Même tactique:

dy/dx = (ay²+by+c)/(py³+qy²+ry+s)

dx = [(py³+qy²+ry+s)/((ay²+by+c)]dy

On fait la division et on a truc dans le genre.

dx = [A.y + B + (Cy + D)/(ay²+by+c)] dy

Avec A, B, C et D définis à paritir de a, b , c, p, ...

On integre sans problème ce genre de bidule et on a facilement (x + K) = f(y)

(Avec K un constante dépendant des conditions initiales).

Et de nouveau, la difficulté est de trouver (et ce n'est pas forcément possible) l'expression analytique de y en fonction de x.

Par contre on doit y arriver sans trop de difficultés graphiquement.
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Sauf distraction.  

Heureusement que la pression ne dépend que de la hauteur d'eau et pas du poids de l'eau dans le récipien.

Sans démo, une simple question.

Penses-tu qu'à 3 m de profondeur dans une piscine d'eau salée ou à 3 metres de profondeur dans un océan, la pression soit différente.

Si la pression dépendait du poids d'eau dans le récipient, je n'oserais plus jamais plonger dans un océan.

Si tu veux faire un petit calcul, réfléchis sur un aquarium parallélipipédique.

Le poids d'eau est réparti sur tout le fond, avec S la section de l'aquarium et h la hauteur,

Poids d'eau = k.Volume = k.S.h (k = constante = poids volumique du liquide).

Pression = Poids/S = kSh/S
Pression = k.h
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Merci J-P 10:23

Une nouvelle fois, cette méthode permet d'exprimer x=f(y).

Par contre on doit y arriver sans trop de difficultés graphiquement.

A ce propos, connaissez-vous un utilitaire qui, une fois représentée y=f(x) permette de représenter (sur le même graphe ou ailleurs) la fonction inverse x=f(y) par symétrie par rapport à la première bissectrice ?

merci,

Philoux

J-P 10:34 (post croisés)

"Penses-tu qu'à 3 m de profondeur dans une piscine d'eau salée ou à 3 metres de profondeur dans un océan, la pression soit différente."

Effectivement, cet exemple est pertinent;

Par ailleurs, le poids de l'eau ramené à l'unité de surface correspond bien à la pression, d'où ton exemple de l'aquarium

Merci

Philoux