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equa diff

Posté par don pietro (invité) 27-10-05 à 21:58

bonjour excusez moi de vous deranger en periode de vacance mais je m'enerve depuis deux jours sur une equa diff que voici:
       y''-2ay'+1+a^2=sinx
on doit etre amener a discuter des valeur de la reponse finale en fonction de a
en fait le vrai probleme c'est que dans mon equation homogene je ne sais pas bien quoi faire avec mon (a^2+1)
                       merci de repondre!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : equa diff 28-10-05 à 06:22

Bonsoir don pietro;
L'équation homogéne (sans second membre) est:
4$\blue\fbox{y''-2ay'=0}
Mais tu peux t'en passer (astucieusement)et résoudre directement ton équation en remarquant qu'elle peut aussi s'écrire par intégration:
3$\fbox{y'-2ay=-cos(x)-(1+a^2)x+b\\b\in\mathbb{R}}
puis tu discutes les deux cas:
Cas a=0:
3$\fbox{y'=-cos(x)-x+b\\b\in\mathbb{R}} ce qui donne 4$\red\fbox{y=-sin(x)-\frac{x^2}{2}+bx+c\\b,c\in\mathbb{R}}
Cas a\neq0:
3$\fbox{(y'-2ay)e^{-2ax}= -cos(x)e^{-2ax}-(1+a^2)xe^{-2ax}+be^{-2ax}} et comme 3$\fbox{(y'-2ay)e^{-2ax}=(ye^{-2ax})'} tu déduis que:
4$\red\fbox{y=e^{2ax}\int-cos(x)e^{-2ax}-(1+a^2)xe^{-2ax}+be^{-2ax}} la primitive en question s'obtient par des intégrations par parties je te laisse faire.

Sauf erreurs bien entendu


Posté par
jacques1313re : equa diff 28-10-05 à 06:45

Je suis d'accord avec elhor_abdelali.
Cela dit, on peut peut-être faire plus simple dans le cas a≠0 en cherchant des solutions particulières de l'équation.

On peut considérer y'=cte=K pour l'équation y''-2ay'+1+a^2=0.
Et on peut considérer y'=A.cos x+B.sin x pour l'équation y''-2ay'=sin x.

Ainsi on aura K=\frac{1+a^{2}}{2a} et y'_{1}=-\frac{\cos{x}+2a\sin{x}}{1+4a^{2}}.

D'où y'=2a C e^{2a x}+\frac{1+a^{2}}{2a}-\frac{\cos{x}+2a\sin{x}}{1+4a^{2}}, dont on trouve facilement la primitive.

Posté par don pietro (invité)re : equa diff 29-10-05 à 00:42

ca y est g reussi!! merci beaucoup!


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