Niveau autre

équa diff

Posté par orm (invité) 17-12-05 à 12:40

on a Ip(x)=entre 0 et x de [t^p exp(-t^2/2)dt]
1/calcul de I(2p+1)

j'obtiens 2^p.p! +(Somme de k=0 à p de  -x^(2k).2^(p-k)p!/k!)exp(-x^2/2).

2/Calcul de I(2p)

ici je n'arrive pas à trouver la formule
j'ai qqchose comme  Io SOMME de p=0à(n-1) de (2p+1)  +(Somme de k=0à(n-1) de  -x^(2k+1)*.....)exp(-x^2/2)

3/déterminer le degré du polynôme  1+P'(x)+xP(x)
soit n=deg P
alors deg=n+1

Mq il n'existe pas de polynôme P tq  Io(x)+P(x)exp(x^2/2) soit une fction cste.
ici ???

Merci

Posté par orm (invité)re : équa diff 17-12-05 à 14:31

j'ai une suite.

Soit phi(f)(x)=f'(x)-xf(x)

4/Mq phi est linéaire.   OK

Déterminer son noyau. Ker phi={Kexp(x^2/2)}

Est-elle injective?surjective? ker phi différent de OE dc non injective. Par   contre surjective?

Expliciter phi^-1(g)={f tq phi(f)=g}      phi^-1(g)={f tq f(x)=(K+Int (g(x)exp(-x^2/2)dx)*exp(x^2/2),K appartenant à R}

5/Déterminer phi o phi et caractériser le noyau.  phi o phi(f)(x)=f''(x)-2xf'(x)+(x^2-1)f(x)

ker il faut résoudre équat diff au dessus?

6/noyau de phi^n.

Posté par re : équa diff 17-12-05 à 23:35

Bonsoir orm;
1-2)Pour $\fbox{p\in{\mathbb{N}}^*-\{1\}\\x\in\mathbb{R}}$ on a $\fbox{I_p(x)=\int_{0}^{x}\underb{t^{p-1}}_{u(t)}\underb{te^{-\frac{t^2}{2}}}_{v'(t)}dt=(p-1)I_{p-2}(x)-x^{p-1}e^{-\frac{x^2}{2}}}$ .
Pour $\fbox{p\in\mathbb{N}\\x\in\mathbb{R}}$ notons $\fbox{J_p=I_{2p}(x)\\K_p=I_{2p+1}(x)}$ on a alors $\fbox{J_{p+1}=(2p+1)J_{p}-x^{2p+1}e^{-\frac{x^2}{2}}\\K_{p+1}=(2p+2)K_{p}-x^{2p+2}e^{-\frac{x^2}{2}}}$ ou encore $\fbox{\frac{2^{p+1}(p+1)!}{(2p+2)!}J_{p+1}=\frac{2^{p}p!}{(2p)!}J_{p}-\frac{2^{p+1}(p+1)!}{2(p+1)!}x^{2p+1}e^{-\frac{x^2}{2}}\\\frac{1}{2^{p+1}(p+1)!}K_{p+1}=\frac{1}{2^{p}p!}K_{p}-\frac{1}{2^{p+1}(p+1)!}x^{2p+2}e^{-\frac{x^2}{2}}}$ et par téléscopie $\fbox{I_{2p}(x)=\frac{(2p)!}{2^pp!}I_0(x)-\frac{(2p)!}{2^pp!}\Bigsum_{k=1}^{p}\frac{2^{k}k!}{(2k)!}x^{2k-1}e^{-\frac{x^2}{2}}\\I_{2p+1}(x)=2^pp!I_1(x)-2^pp!\Bigsum_{k=1}^{p}\frac{1}{2^{k}k!}x^{2k}e^{-\frac{x^2}{2}}}$ .
3)je crois que la question comporte une erreur de signe et c'est plutot la fonction $\fbox{I_0(x)+P(x)e^{-\frac{x^2}{2}}}$ qui ne peut pas ^tre constante puisque de dérivée $\fbox{(1+P'(x)-xP(x))e^{-\frac{x^2}{2}}}$ qui ne peut pas ^tre identiquement nulle vu que le polynome $\fbox{1+P'-xP}$ n'est pas nul (degré supérieur ou égal à un).
Sauf erreurs...

Posté par re : équa diff 18-12-05 à 02:13

4)Tu n'as pas précisé les ensembles de départ et d'arrivée de l'application $\phi$ .
je suppose que $\fbox{\phi{:}C^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R})\to C^{0}(\mathbb{R},\mathbb{R})\\\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}f\to f'-xf=e^{\frac{x^2}{2}}(fe^{\frac{-x^2}{2}})'}$
(*) $\phi$ est bien un homomorphisme de $\mathbb{R}$ -espaces vectoriels.
(*) $\fbox{Ker(\phi)=\mathbb{R}e^{\frac{x^2}{2}}}$ donc $\phi$ non injective.
(*)Si $\fbox{g{:}\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ est continue,l'application $\fbox{f_0{:}\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\x\to e^{\frac{x^2}{2}}\int_{0}^{x}g(t)e^{-\frac{t^2}{2}}dt}$ vérifie $\fbox{f_0\in C^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R})\\\phi(f_0)=g}$ donc $\phi$ est surjective.
(*) $\fbox{(\forall g\in C^{0}(\mathbb{R},\mathbb{R}))\\\phi^{-1}(g)=f_0+Ker(\phi)=\{f_k{:}\mathbb{R}\to\mathbb{R}\hspace{5}f_k(x)=e^{\frac{x^2}{2}}(k+\int_{0}^{x}g(t)e^{-\frac{t^2}{2}}dt)\hspace{5}k\in\mathbb{R}\}}$ .
5)(*) $\fbox{(\forall f\in C^{2}(\mathbb{R},\mathbb{R}))\\\(\phi o\phi)(f)=\phi(\phi(f))=e^{\frac{x^2}{2}}(\phi(f)e^{\frac{-x^2}{2}})'=e^{\frac{x^2}{2}}((f'-xf)e^{\frac{-x^2}{2}})'=e^{\frac{x^2}{2}}(fe^{\frac{-x^2}{2}})''}$ .
(*) $\fbox{Ker(\phi o\phi)=\mathbb{R}e^{\frac{x^2}{2}}+\mathbb{R}xe^{\frac{x^2}{2}}}$ .
6)Une petite récurrence donne:
$\fbox{(\forall n\in\mathbb{N})(\forall f\in C^{n}(\mathbb{R},\mathbb{R}))\\\phi^n(f)=e^{\frac{x^2}{2}}(fe^{\frac{-x^2}{2}})^{(n)}}$ d'où $\fbox{Ker(\phi^n)=\mathbb{R}e^{\frac{x^2}{2}}+\mathbb{R}xe^{\frac{x^2}{2}}+\mathbb{R}x^2e^{\frac{x^2}{2}}+..+\mathbb{R}x^{n-1}e^{\frac{x^2}{2}}}$ .

Sauf erreurs

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

analyse en post-bac
21 fiches de mathématiques sur "analyse" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

équa diff

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths