Cette matrice est (à une coquille et à une transposition près, vérifie ton texte) l'exponentielle de . Ton cours explique sans aucun doute le rôle que cette matrice joue dans la résolution du système différentiel.

Souviens toi que tu as deux etapes dans la résolution....

pardon recomic...

Mais dans mon cours, la formule qui donne la matrice fondamentale est

où et sont les valeurs propres de A, et et sont les vecteurs propres associées à ces valeurs propres.
Mais cette formule ne correspond pas à la matrice de mon premier post, comment expliquer ca? S'il vous plaît.

Ce que tu donnes est la solution de l'equation sans second membre

Ah d'accord! Donc ce n'est pas de la matrice fondamentale, qu'il s'agit, c'est de la solution du système homogéne, mais où sont les constantes?

l a solution du systeme homogene en fait s'ecrit :
   (k_i(e^ix)Vi)

L'espace des solutions de l'équation sans second membre est de dimension 2.
Les colonnes d'une matrice fondamentale forment une base de cet espace. Mais un espace vectoriel de dimension 2 a une infinité de bases ! On a donc une infinité de choix pour une matrice fondamentale, et tous ces choix engendrent le même espace de solutions.
Et encore une fois, vérifie ce que tu as écrit. Je suis persuadé que tu t'es trompé dans ta recopie.

Desolé recomic:je pensais que tu n'etais plus là.Je vous laisse tous les deux

Pas de problème. Mais je pensais important de dire à tina qu'il n'y a pas une matrice fondamentale, mais une infinité de choix possibles. Et parmi ces choix, la matrice qui a l'avantage de toujours fonctionner (que la matrice du système soit diagonalisable ou non). Quand la matrice est diagonalisable, une autre possibilité de choix pour la matrice fondamentale est ce qui a été indiqué à 21:42.

Tout à fait d'accord!!

Donc la matrice fondamentale qui est donnée dans le poly est ?

Ca devrait être ça. Ca fait déjà deux fois que je te demande de vérifier ce que tu as écrit dans ton premier post, sans succès !

Si ce que tu dis ici est vrai, alors tu devrais pouvoir répondre toi-même à ta question, non ?

oui donc je continue ici. mon problème est que dans le poly, ils ont d'abord calculé les valeurs propres, puis les vecteurs propres pour donner la matrice fondamentale. Mais à ma connaissance, on n'a pas besoin de ces dérniers pour calculer l'exponentiel, non? Si oui, alors comment? Car là je ne sais pas.

On sait bien calculer l'exponentielle d'une matrice diagonale.
Si on part d'une matrice diagonalisable et qu'on a calculé une base de vecteurs propres (donc une matrice de passage ) , on a avec diagonale et .
On peut calculer l'exponentielle d'une matrice sans calculer une base de vecteurs propres.

En résumé, si on cherche la matrice fondamentale, il y a deux méthodes:
1- Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres associés, et écrire que


2- Calculer soit directement, soit en utilisant une base de vecteurs propres.

Et donc la matrice fondamentale de mon poly n'est autre que , et pas celle de la méthode 1 que je viens de citer. C'est bien ca?

Je vous remercie par avance.

Pas la matrice fondamentale, une matrice fondamentale.
Modulo ça, oui.
POUR LA QUATRIEME FOIS : as-tu vérifié les matrices écrites dans ton premier message ?

oui, je l'ai bien vérifié, c'est ce qui est écrit sur le poly. Pourquoi, il y a un problème avec elle?

Oui, plusieurs. Pour commencer, je suis prêt à parier que le coefficient en bas à gauche n'est pas (ce qui fait 0).
Je voudrais que tu regardes SERIEUSEMENT.

oui je vous assure que c'est écrit comme ca. Le prof a dû faire une erreur.
Peux tu me dire combien on doit trouver? S'il te plaît.

L'exponentielle de est .

On peut remarquer que et forment une base de vecteurs propres de , de valeurs propres associées respectivement et .

La première colonne de est . La deuxième colonne de est .

S'il te plaît, c'est quoi la formule exacte qui donne en fonction des valeurs propres et des vecteurs propres?

2- une deuxième matrice fondamentale est bien

C'est bien ça?

Je vous remercie par avance pour votre aide.

Oui, mais peux-tu me donner le détail du calcul de et pour le prendre comme modèle d'application.
Merci par avance pour votre aide.

N'as-tu jamais vu de diagonalisation de matrice ? Ca m'étonne.

Ici, on a vu que a deux valeurs propres et . Comme son polynôme caractéristique est scindé à racines simples, est diagonalisable. On trouve un vecteur propre associé à la valeur propre (resp. ) en prenant un vecteur non nul du noyau de (resp ). On peut prendre les deux vecteurs et que j'ai écrits plus haut. La matrice de passage à cette base de vecteurs propres est alors . Je suppose que tu sais calculer son inverse . Alors .

On remarque que   (où est la matrice fondamentale que tu as écrite).

Bonjour,

A la suite du message du 30-01-16 à 06:50 où tout est dit :

L'on a



Par suite,



de sorte que



Ne pas oublier que le produit de matrices est associatif !

Recomic35 a eu beaucoup de patience.

Bonne journée !

Merci beaucoup pour toute votre aide.
Dérnière question: comment reconnaître si une matrice est diagonalisable? S'il vous plaît.

Et autre question s'il vous plaît.
Est-ce qu'on peut généraliser la formule de par
la première colonne de est et sa deuxième colonne est  ?
Je vous remercie par avance pour votre aide.

Regarde un cours sur la diagonalisation des matrices.
La formule que tu imagines pour l'exponentielle n'a absolument aucune généralité.

Bonjour,
quelle est la différence entre polynôme minimal cindé et polynôme caractéristique? Parce que d'un côté, je trouve qu'on dit qu'une matrice est diagonalisable si les racines du polynôme cindé sont simples, et d'un autre côté, je trouve qu'une matrice est diagonalisable si la multiplicité de chaque valeur propre est égale à la dimension du sous espace propre associé. Ces deux définitions sont équivalentes?
Je vous remercie par avance pour votre aide.

D'abord c'est "scindé" et pas "cindé". Ensuite, sais-tu bien ce que veut dire "scindé" ? Un polynôme est dit scindé quand il est produit de facteurs du premier degré. Autrement dit, un polynôme de degré est scindé si et seulement s'il a racines comptées avec multiplicité.

On a deux conditions nécessaires et suffisantes de diagonalisabilité

1°) Une matrice carrée est diagonalisable si et seulement si elle admet un polynôme annulateur scindé à racines simples (ce qui équivaut à dire que son polynôme minimal est scindé à racines simples).

2°) Une matrice carrée est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé et la multiplicité de chaque valeur propre est égale à la dimension du sous-espace propre associé.

Ce ne sont pas des définitions, ce sont des conditions nécessaires et suffisantes de diagonalisabilité. La définition de la diagonalisabilité est la suivante : une matrice carrée est dite diagonalisable quand elle est semblable à une matrice diagonale.

1- Par dimension du sous-espace propres associé, on parle bien de l'espace vectoriel des vecteurs propres associés à la valeurs propres. C'est bien ça?
2- Pouvez vous s'il vous plaît me donner un exemple sur comment déduire le polynôme minimal d'un polynôme caractéristique? S'il vous plaît.

Je vous remercie par avance.

1) C'est la définition de sous-espace propre, à ceci près qu'un vecteur propre n'est habituellement jamais nul. Le sous-espace propre associé à la valeur propre est le noyau de .
Vraiment, tu n'as pas de cours sur la diagonalisation ?
2) Le polynôme minimal ne se déduit pas du polynôme caractéristique. Ce qu'on sait, c'est :
- le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique,
- tout facteur irréductible du polynôme caractéristique divise le polynôme minimal.

pour le 1 je ne comprend pas bien, c'est bien la dimension de l'espace vectoriel des vecteurs propres associé; les solutions de , c'est bien ca?

NON ! Ce n'est pas le noyau de , où est la multiplicité de la valeur propre ; ça, c'est le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre , a priori plus gros que le sous-espace propre qui lui est le noyau de (l'ensemble des vecteurs propres, plus le vecteur nul).
J'insiste : lis un cours sur la diagonalisation et la réduction des endomorphismes !

Oui, mais il y a des trucs que je ne comprend pas. Par exemple si une matrice a deux valeurs propres simple et de multiplicité 2, donc on a dimension de X_1 =1 et dimension de X_2=2, en fait il faut résoudre les systèmes; et , mais si l'espace de est de dimension 2, le sous espace est normalement de quelle dimension?  et est-ce qu'on peut la déduire directement?

Une nouvelle fois : tu aurais les idées plus claires si tu te décidais une bonne fois d'étudier un cours sur la réduction des endomorphismes !

Citation :
Par exemple si une matrice a deux valeurs propres simple et de multiplicité 2, donc on a dimension de X_1 =1 et dimension de X_2=2