L'équation générale sans second membre y'² + (y-C)² = 0 possède une contrainte.

Si tu n'as pas le droit aux complexes, tu limites y à une fonction constante, parce qu'il faut que y' = 0 et (y-C) = 0. Je dirais même que c'est y(x)=C d'ailleurs.

Si tu as le droit aux complexes, y'² + (y-C)² = 0 se résout par a²-b²=0.

Tu tombes sur deux équations du type y' + k y = m et là tu devrais maîtriser.

y'² + (y-C)^2= D
dy/dx = y' = (+ou-)(D-(y-C)^2)^(1/2)
dx = (+ou-)dy/(y²-2Cy+C²-D)^(1/2)
puis intégrer pour obtenir x = fonctions de y

Si D < 0 pas de solution .
Si D = 0 les solutions sont (,x C) et ( , x -C).
Si D > 0 le changement de fondtion défini par Y = (y - C)/D ramène le problème à l'ED : (Y ')² = 1 - Y² .

Il  y a de très nombreuses applications dérivables f : vérifiant (f ')² = 1 - f² .

En voici quelques unes ,en dehors de x 1 et x -1 :

1. f(x) = 1 pour x < 0 ,
         = cos(x) pour x 0 .
2. f(x) = 1 pour x < 0 ,
         = cos(x) pour 0 x 2n ,
         = 1 pour x >  2n .( n entier > 0 )
3.f(x) = 1  pour x < 0 ,
        = cos(x) pour 0 x (2n+1) ,
         = -1 pour x >  2n .( n entier > 0 )
4.f(x) = 1 pour x < 0 ,
         = cos(x) pour 0 x 2p ,
         = 1 pour 2p < x < (2p+2q) ,
         = cos(x) pour (2p+2q) x (2p + 2q + 2r)
         = 1 pour x > (2p + 2q + 2r).
(p , q , r entiers > 0

...etc.
Et leurs translatées .

Du point de vue dessin :
Pour avoir le graphe d'une solution on raccorde "convenablement" un nombre fini ou infini dénombrable de  bouts "convenables" de sinusoïdes  et des segments horizontaux d'ordonnées +1 ou -1 et d'extrêmités appartenant à {-, +} . et on  translate le tout horizontalement d'autant que l'on veut.

Mais s'il est très facile de voir qu'on obtient ainsi des solutions  , il l'est moins de  montrer que ce sont les seules .



Sans oublier leurs translatées .

Comme suite à mon message précédent (et pour faire simple) :
Les solutions de y'² + (y-C)^2= D
qui s'en déduisent sont :
y = r*sin(x+a)+C
avec r= racine carrée de D (supposant D positif ou nul)
La constante d'intégration étant a.
Notons que y=r*sin(x+a)+C est identique à y=r*cos(x+a)+C , ou à y=-r*sin(x+a)+C , ou encore à y=-r*cos(x+a)+C par simples changements de la valeur de a.

JJa
Aucune des applications que j'ai citées ne sont de la forme que tu dis .
Et pourtant ce sont des solutions .

Posons . Il est alors aisé de voir que tout revient à résoudre l'équation différentielle , avec .

@Kybjm : Tu dis qu'il n'y a pas de solutions pour . Que penser par exemple de ceci ? Le bouton "Show steps" permet de visualiser les étapes [du logiciel].

A +

<< kybjm a écrit :
JJa
Aucune des applications que j'ai citées ne sont de la forme que tu dis .
Et pourtant ce sont des solutions .>>

Les solutions que tu cites sont des solutions particulières qui sont incluses dans la solution générale que j'ai donnée. Il suffit de déterminer la constante quelconque "a" qui figure dans la formule pour retrouver chacune d'elles.
Par exemple, avec a=-pi/2 on retrouve la solution particulière qui est écrite avec cos(x)
Pour vérifier la validité de la formule générale, on reporte y et y' (qui s'en déduit) dans l'équation différentielle et on constate que cette équation est bien satisfaite.

Bonjour,

Avec Dhilbert:







Alain

Bien évidemment, j'approuve ce qu'alainpaul a écrit.
C'est mot pour mot ce qui dans mon post du 09-05-12 à 23:18 et qui conduit à la solution générale donnée le 10-05-12 à 07:35
(Solution que l'on pouvait d'ailleurs conjecturer directement au vu de l'équation).

Bonjour,


Tu as 200% raison,je suis passé carrément
au-dessus de ton mail,



Alain

Pas étonnant que mon post soit passé inaperçu !
N'étant pas écrit en Latex, il est peu lisible, contrairement au tien qui fait clairement ressortir les équations.
Donc, ton intervention était utile.

Les messages précédents appellent quelques remarques .

1.(Pour DHilbert) .
Il me semble que la somme dee carrés de 2 nombres réels ne peut être < 0 . De  sorte que si D < 0 je ne vois pas beaucoup d'application dérivable  y :    qui vérifie : y'² + (y-C)² = D .
Je ne vois pas à quoi correspond ce que fait wolfram alpha !

2.(Pour JJa)
21.J 'aimerais bien savoir ce que tu entends par   solution  particulière   incluse dans la solution générale que j'ai donnée.
Il ne peut s'agir de restriction .

22.Je n'ai pas dit que les applications que je donnais n'étaient pas des solutions particulières .
Je voulais insister sur le fait qu'il y avait bien d'autres solutions que x 1 , x -1 et les x sin(x + a) (a réel quelconque ).

(Je ne vois pas comment les applicaton que je fournis pourraient se mettre sous la forme x sin(x + a))