On démontre d'abord que sous des conditions de régularité convenables les solutions de l'équation homogène forment un espace vectoriel de dimension 2. est une base de cet espace vectoriel.

On démontre aussi que les solutions de l'équation complète sont obtenues en ajoutant une solution particulière de cette équation aux solutions de l'équation homogène. Par suite il nous suffit à ce niveau de trouver une solution. Or il se trouve qu'on constatera qu'il existe une telle solution de la forme.
Enfin, toujours parcequ'il nous suffit de trouver une solution, on peut imposer une contrainte supplémentaire simplificatrice à condition qu'elle donne quelque chose de possible, ce qui est justement le cas en imposant . On pourrait peut-être trouver autre chose, mais ce qu'on prend d'habitude marche, alors...

En effectuant ce travail on trouve à la fin à une constante additive (d'intégration) près. On peut prendre ces constantes nulles ou non, ce qui ne change rien au résultat final puisqu'en ajoutant les solutions de l'équation homogène on retrouve des constantes arbitraires.

merci pour ta réponse (puisque on m'a dit que le tutoiement été imposé sur le forum ), mais une chose m'échappe... on pose comme on aurait pu poser ?? ou bien il y a une démarche qui nous permet de poser ... Dans les deux cas et si tu as du temps, je te serais reconnaissant de m'en dire un peu plus

merci beaucoup

Puisqu'il nous suffit à ce stade d'obtenir UNE solution, on peut imposer une équation supplémentaire à une double condition: qu'elle ne soit pas incompatible avec ce que nous avons déjà et qu'elle simplifie les choses. Or on peut voir que poser satisfait cette double condition. Donc on s'empresse de le faire. On aurait peut-être pu poser autre chose, mais l'usage montre que ce serait plus compliqué ! Alors, à moins d'être maso ...