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équa diff niveau prépa
slt les matheux!!
Pouvez vous m'aider sur un probleme traitant les equa diff. svp?
On considère l'équation différentielle (E) y''(t) + b(t)y'(t) + c(t)y(t) = 0
ou b et c sont des fonctions continues sur un intervalle I et a valeurs réelles
1)On considere 2 solutions u et v de l'equation et on pose W(t)=| u(t) v (t) |
| u'(t) v'(t) |
(j'ai mis des barres verticales pr symboliser le determinant, on a donc W(t) = determinant de.....ca fait uv'-u'v...)
Prouver que W(t) satisfait l'équa dif W'+ bW = 0
Cette question j'ai trouvé!
maintenant ca se complique!
2)on suppose que u ne s'annule pas sur I et on pose y(x)= q(x)u(x), prouver que q' est solution d'une équa diff du premier ordre
3) (on fixe dans la suite 2 solutions u et v de (E) telles W(to) 
0
soit y une solution quelconque de (E), prouver qu'il existe un unique couple de réels (
,
) tel que:
=
+
4)on pose z= y-u -v ( on a donc z(to)=z'(to)=0 )
on note W1 = uz'-u'z et W2=vz'-zv'
Prouver que z est solution de E
Prouver que 
t 
, W1(t)=W2(t)=0
Et enfin en déduire que t il existe 2 reels (,) tels que: =
et =
5) deduire que z(t) = 0, t
Merci d'avance
PS: to se lit "t zéro"
merci d'avance
bon je suis aps sur d'avoir les connaissances pour tous faire mais y a des trucs que je connais alors ^^ :
2)on suppose que u ne s'annule pas sur I et on pose y(x)= q(x)u(x), prouver que q' est solution d'une équa diff du premier ordre
y(x)= q(x)u(x)
y'(x)=q'(x)u(x)+q(x)u'(x)
y''(x) =q''(x)u(x)+2u'(x)q'(x)+q(x)u''(x)
on forme l'equation differentille par combinaison de ces trois equations et on regroupe les thermes en q,q' et q'' on obtiens :
q(x)(u''(x)+b(x)u'(x)+c(x)u(x)) + q'(x)(2u'(x)+u(x)b(x)) + q''(x)u(x)=0
le therme en q s'anule car u est solution de l'equation, il reste:
q''(x)u(x)+q'(x)((2u'(x)+u(x)b(x))) = 0 soit une equation diferentielle du 1er ordre en q'.
apres,
on a W(To) different de 0 donc les vecteurs (u(To),u'(To)) et (v(Too),v'(To)) ne sont pas lié il peuvent donc former une base a 2 dimension donc le vecteur (y(to),y'(to)) a des coordoné dans cette base : alpha et beta d'ou l'egalité qui suit.
E est lineair donc toute combinaison linerai de ces solutions et solutions de E, y, u et v etant solution y-alphau-betav est solution.
(si il y a bessoin de d'avantage de justification il suffit de remplacer y par z dans E et de conster que tous s'anule)
pour la je trouve pas, je pense qu'il me manque des element de cours pour trouver...
je passe a la suite :
"en deduire que pour tous t il existe de reel alpha et beta etc..."
on a montré (enfin...) que W1(t)=0 W est le determinant de
|u z |
|u' z'|
le fait qu'il soit nul nous apprend que ces vecteur sont lié donc qu'il exsite alpha telle que (u,u') = alpha*(z,z')
de meme pour (v,v') avec W2=0
et enfin, on procede par l'absurde, si z est non nul alors le vecteur (z,z') est non nul, alpha et beta sont non nul et on peut ecrire :
(u,u')=alpha/beta (v,v') soit W(t) = O ce qui est contradictoir avec l'hypothese W(to)#0
voila voila, j'espere que qqn t'aidra pour la question que je n'ai aps traité
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