Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Equa diff premier ordre formule générale problème constantes

Posté par
LaCendre 28-05-16 à 13:09

Bonjour, j'ai un partiel de fin de semestre et les équa diff ont l'air de faire leur coming back pour cette occasion, j'ai mis au point une formule générale pour exprimer y(x) (solution homogène + solution particlière qui marche (je pense que ma démo est bonne) mais dans laquelle je pense (non je suis sûr) d'avoir oublié des constantes d'intégration, ce serait donc sympa si quelque uns pouvaient avoir la gentillesse de m'expliquer ou dois-je mettre mes constantes, merci!

Soit une équation différentielle d'ordre 1 de la forme  a(x)y_{h}'(x)+b(x)y_{h}(x)=c(x)  avec  a(x)\neq 0.

\left\{\begin{matrix} \\ (E_{h})\; a(x)y_{h}'(x)+b(x)y_{h}(x)=0 \\ \\ \\ (E_{p})\; a(x)y_{p}'(x)+b(x)y_{p}(x)=c(x) \\ \end{matrix}\right.  et  \left\{\begin{matrix} \\ y_{h}(x)=Ke^{-\int \frac{b(x)}{a(x)}dx} \\ \\ \\ y_{p}(x)=K(x)e^{-\int \frac{b(x)}{a(x)}dx} \\ \end{matrix}\right.

On va commencer par rechercher K(x) :

y_{p}(x)=K(x)e^{-\int \frac{b(x)}{a(x)}dx}\Rightarrow y_{p}'(x)=[K'(x)-\frac{b(x)}{a(x)}K(x)]e^{-\int \frac{b(x)}{a(x)}dx}

En injectant y_{p}(x) et y_{p}'(x) dans (E_{p}), on obtient après simplification :

K'(x)=\frac{c(x)}{a(x)}e^{\int \frac{b(x)}{a(x)}dx}\Rightarrow K(x)=\int \frac{c(x)}{a(x)}e^{\int \frac{b(x)}{a(x)}dx}dx

d'où  y_{p}(x)=\int \frac{c(x)}{a(x)}e^{\int \frac{b(x)}{a(x)}dx}dx\times e^{-\int \frac{b(x)}{a(x)}}

Or, on sait que y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x), donc en mettant e^{-\int \frac{b(x)}{a(x)}} en facteur, on obtient finalement que :

y(x)=[\int \frac{c(x)}{a(x)}e^{\int \frac{b(x)}{a(x)}dx}dx+K] e^{-\int \frac{b(x)}{a(x)}dx}

Je sais que K est issu de l'étape y_{h}(x)=e^{-\int \frac{b(x)}{a(x)}dx} car c'est la constante d'intégration de la primitive de \frac{b(x)}{a(x)} mais du coup je me suis un peu perdu en cours de route, et à la fin je me retrouve avec une expression de y(x) incomplète car je suis sûr à 99% qu'il me manque des constantes d'intégration. J'avoue, je suis parti des expression de y_{h}(x) ety_{p}(x) données par le prof sans vraiment comprendre ce qu'il y a derrière la méthode de variation de la constante, c'est-à-dire sur quoi s'appuie-t-on pour poser que y_{p}(x)=K(x) (...)

Posté par
carpediemre : Equa diff premier ordre formule générale problème constante 28-05-16 à 13:25

salut

quelques remarques :

1/ à quoi servent ces indice h et p ? (ils n'ont aucun intérêt donc sont inutiles)

2/ je note (dans mes cours) F une primitive de la fonction x \mapsto \dfrac {b(x)}{a(x)} de sorte que ça allège considérablement les formules et simplifie donc l'écriture

3/ pour savoir si tu as oublié des choses ou fais une erreur c'est simple : tu prends ton résultat final et tu l'injectes dans l'équation pour voir si ça marche ...

Posté par
Jygzre : Equa diff premier ordre formule générale problème constante 28-05-16 à 13:25

Bon j'ai pas lu. Mais je comprends pas l'intérêt...

Tu as une formule pour résoudre les équations différentielles d'ordre 1. Le mieux c'est de t'entrainer sur des vraies équations différentielles que d'établir une formule générale inapplicable...

Posté par
mdr_nonre : Equa diff premier ordre formule générale problème constante 28-05-16 à 13:30

bonjour : )

Jygz a raison, entraine toi sur des équations différentielles et retiens la démarche, c'est plus intelligent.

Posté par
mdr_nonre : Equa diff premier ordre formule générale problème constante 28-05-16 à 13:34

Bon si on devait quand même t'expliquer tes erreurs :

Tu ne peux pas prendre pour variable d'intégration x alors que x est déjà la variable de la fonction (qui a l'intégrale). Ca porte à confusion et fausse plusieurs de tes lignes.

Posté par
LaCendrere : Equa diff premier ordre formule générale problème constante 28-05-16 à 14:05

Citation :
J'ai pas lu..

Sympa moi qui ai passé du temp à tout écrire

En quoi est-ce idiot d'écrire une formule générale? ^^

C'est bien parce que j'ai compris la méthode générale que j'ai envie d'en sortie une formule générale, je fais de l'info à côté et je voulais créer une appli de calcul formel qui résolve n'importe quelle (le calcul formel c'est bon je sais faire, c'est juste long et fastidieux, mais je m'éloigne de la question..)

@carpediem je sais que c'est très lourd mais j'ai beau avoir parlé essentiellement du contrôle de maths, ça partait quand même d'une petite curiosité personnelle en plus du contrôle, même si c'est aussi pour le contrôle car sur les deux-trois exos que j'ai testé, ça va beeeaucoup plus vite avec ma formule (et le résultat est juste, bien entendu)
Merci quand même tout le monde, néanmoins si certains ou certaines d'entre vous auraient une petite remarque ou lien sur ce qui se cache derrière cette fameuse méthode de la variation de la constante K, je suis preneur, je vais aller re-regarder sur Internet mais je n'ai rien trouvé de concret, ni dans les livres de la BU, mais seules la méthode y figure. C'est quand même nul d'apprendre pour avoir une bonne note et basta je trouve..

Posté par
mdr_nonre : Equa diff premier ordre formule générale problème constante 28-05-16 à 17:15

mdr_non @ 28-05-2016 à 13:34

Tu ne peux pas prendre pour variable d'intégration x alors que x est déjà la variable de la fonction (qui a l'intégrale). Ca porte à confusion et fausse plusieurs de tes lignes.

Posté par
carpediemre : Equa diff premier ordre formule générale problème constante 28-05-16 à 18:54

Citation :
@carpediem je sais que c'est très lourd mais j'ai beau avoir parlé essentiellement du contrôle de maths, ça partait quand même d'une petite curiosité personnelle en plus du contrôle, même si c'est aussi pour le contrôle car sur les deux-trois exos que j'ai testé, ça va beeeaucoup plus vite avec ma formule (et le résultat est juste, bien entendu)


certes ... mais il vaut mieux connaître le principe qu'une formule ...

car une formule s'applique sans raison (comme un algo comme tu veux faire) et ne permet pas toujours de retrouver le principe ...
alors que le principe, l'idée permet de tout retrouver ....


l'idée de cette méthode de la variation de la constante :

soit l'équation ay' + by = c  (E)

1/ les solutions de ay'+ by = 0 sont les fonctions g : x --> exp(-f(x)) où f est une primitive de x --> (b/a)(x)

carla propriété fondamentale de la fonction exp c'est que ses dérivées sont des multiples d'elle-même et de plus elle ne s'annule pas ...

ainsi g' = -f'g

donc si y = hg alors y' = h'g + hg' = h'g - hf'g = (h' - hf')g

en remplaçant dans (E) il vient

a(h' - hf')g + bhg = c <=> ah'g = c

on est donc ramener à "ne chercher qu'une primitive" (de c/(ag))

donc l'idée est de tuer le terme en y

voir la notion de facteur intégrant  ::  


remarquer que chercher une primitive c'est résoudre une équation différentielle .... où il n'apparait que y' (et pas y)


Posté par
LaCendrere : Equa diff premier ordre formule générale problème constante 29-05-16 à 11:20

Merci beaucoup carpediem je vais regarder ça tout de suite!! Merci à tout le monde!


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1760 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !