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Equa diff : problème superposition

Posté par
gui_tou 07-10-07 à 15:44

Bonjour à tous

J'aurais besoin de votre aide pour résoudre sur \mathbb{R} :

Citation :
(E) : 5$y'-xy=x\cos(x^2)


J'ai dit que
Citation :
(E) : 3$y'-xy=\frac{1}{2}xe^{ix^2}+\frac{1}{2}xe^{-ix^2}

En posant 4$\{ H_1(x)=\frac{1}{2}xe^{ix^2} \\ H_2(x)=\frac{1}{2}xe^{-ix^2}     , on est amené à résoudre  


(2$E_1) : 3$y'-xy=H_1(x)
(2$E_2) : 3$y'-xy=H_2(x)

-----
4$\red \clubsuit 1ère étape : Résolution de (E_0) : y'-xy=0 4$\red \clubsuit

Les solutions de (E_0) sont 4$\blue \rm{y(x)=Ke^{\frac{1}{2}x^2}   , avec  x,K \in \mathbb{R}

4$\red \clubsuit 2ème étape : Résolution de (E_1) 4$\red \clubsuit

On pose 3$y(x)=K(x)e^{\frac{1}{2}x^2}

3$y(x)=K(x)e^{\frac{1}{2}x^2} \\ y'(x)=K'(x)e^{\frac{1}{2}x^2}+K(x)xe^{\frac{1}{2}x^2}

d'où

3$y'(x)-x.y(x)=K'(x)\times e^{\frac{1}{2}x^2}

y est solution de (E_1) si 4$K'(x)\times e^{\frac{1}{2}x^2} = \frac{1}{2}xe^{ix^2}

y est solution de (E_1) si 4$\blue \rm K'(x)=\frac{1}{2}xe^{i-\frac{1}{2}}



Et là je bloque au calcul de primitive

Pouvez-vous me dire si mon raisonnement est correct, et ce que je pouurais améliorer dans la rédaction ?

Merci beaucoup

Posté par
gui_toure : Equa diff : problème superposition 07-10-07 à 15:49

Arf, à la toute fin c'est

Citation :
y est solution de (E_1) si    4$\blue K'(x)=\frac{1}{2}xe^{x^2(i-\frac{1}{2})}

Posté par
Nightmarere : Equa diff : problème superposition 07-10-07 à 15:49

Salut

On en va pas se fatiguer :

3$\rm y'-xy=\frac{1}{2}xe^{ix^{2}}

On multiplie par 3$\rm 2e^{-x^{2}}, cela done :
3$\rm 2e^{-x^{2}}y'-2xe^{-x^{2}}y=xe^{(i-1)x^{2}}
Ie :
3$\rm \frac{d}{dx} \[2y(x)e^{-x^{2}}\]=xe^{(i-1)x^{2}}
On a donc :
3$\rm 2y(x)e^{-x^{2}}=\frac{1}{2(i-1)}e^{(i-1)x^{2}}+C
Et au final 3$\rm y(x)=\frac{1}{4(i-1)}e^{ix^{2}}+\frac{1}{2}Ce^{x^{2}}

Posté par
gui_toure : Equa diff : problème superposition 07-10-07 à 16:02

Salut Jord

C'est très bien vu, jolie méthode

Mais n'y a-t-il pas moyen de trouver une primitive à mon K'(x) ?
Je suppose qu'il faut faire pareil pour (E_2)

Posté par
gui_toure : Equa diff : problème superposition 07-10-07 à 16:35

Et une fois que j'aurai les 2 solutions de E1 et E2, je n'aurai qu'à les additionner pour avoir les solutions générales de (E) sur \mathbb{R}, n'est-ce pas ?


Posté par
Nightmarere : Equa diff : problème superposition 07-10-07 à 21:21

Ben si ton K'(x) est facilement intégrable, c'est presque de la forme u'.exp(u), suffit juste d'ajuster les coefs.

Posté par
gui_toure : Equa diff : problème superposition 07-10-07 à 21:32

Merci de revenir à ce topic

4$\blue%20K'(x)=\frac{1}{2}xe^{x^2(i-\frac{1}{2})}

donne

4$\blue%20K(x)=\frac{1}{4(i-\frac{1}{2})}e^{x^2(i-\frac{1}{2})}+C

Et comme 3$y(x)=K(x)e^{\frac{1}{2}x^2} , on en déduit


3$\fbox{\rm Solution de E_1 \\\ \rm%20y_1(x)=\frac{1}{4(i-1)}e^{ix^{2}}+\frac{1}{2}C_1e^{x^{2}}

Ah oui en fait c'était tout bête

Je creuse l'autre solution, celle de E_2

Encore merci Jord

Posté par
Nightmarere : Equa diff : problème superposition 07-10-07 à 21:33

Avec plaisir

Posté par
gui_toure : Equa diff : problème superposition 07-10-07 à 22:03

Euh un petit détail ...

4$ \rm K(x)=\frac{1}{4(i-\frac{1}{2})}e^{x^2(i-\frac{1}{2})}+C

En multipliant par 2$e^{\frac{1}{2}x^2}, on obtient

4$ \fbox{\rm y(x)=\frac{1}{4(i-\frac{1}{2})}e^{ix^2}+C_1e^{\frac{1}{2}x^2}

Au dénominateur, tu as i-1 et au niveau de la constante tu as   3$\rm \frac{1}{2}C_1e^{x^{2}} alors que moi j'ai 3$C_1e^{\frac{1}{2}x^2}

Où est ma faute ?

Posté par
Nightmarere : Equa diff : problème superposition 07-10-07 à 22:05

Oui je me suis planté, il faut multiplier par 3$\rm e^{\frac{1}{2}x^{2}} pour appliquer ma méthode.

Posté par
gui_toure : Equa diff : problème superposition 07-10-07 à 22:10

Et au niveau du dénominateur ?

Il faut multiplier quoi par 3$\rm%20e^{\frac{1}{2}x^{2}} pour appliquer ta méthode ?

Tu n'es plus le champion des posts

Posté par
Nightmarere : Equa diff : problème superposition 07-10-07 à 22:24

L'équadiff

Posté par
gui_toure : Equa diff : problème superposition 07-10-07 à 22:28

Ah je crois voir

Posté par
gui_toure : Equa diff : problème superposition 07-10-07 à 23:10

Bonne nuit Jord, et bonne journée

Posté par
gui_toure : Equa diff : problème superposition 08-10-07 à 20:11

En ayant un peu cogité aujourd'hui, j'arrive à :


Citation :


5$\fbox{\red \rm Les solutions de (E) : y'-xy=x\cos(x^2) sur \mathbb{R} sont de la forme : \\ \\ \\ \\ y(x)=Ke^{\frac{1}{2}x^2}+\frac{1}{4(i-\frac{1}{2})}e^{ix^2}+\frac{1}{4(-i-\frac{1}{2})}e^{-ix^2}+(C_1+C_2)e^{\frac{1}{2}x^2} \\ \\ \\ K , C_1 , C_2 \in \mathbb{R}



Quelqu'un pourrait vérifier ?

Merci

Posté par
gui_toure : Equa diff : problème superposition 08-10-07 à 21:11

Cette fois je crois que c'est juste


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