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Equadiff et intégrale impropre

Posté par
matix 16-04-08 à 19:39

Bonsoir,

Dans un exercice, on définit l'intégrale suivante:

\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-t^2} cos(xt) dt, et on me précise qu'on a \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.

On me demande de montrer que pour x élément de \displaystyle \mathbb{R}, f vérifie l'équadiff suivante: \displaystyle f'(x) + \frac{x}{2} \, f(x) = 0.

Après avoir montré que f était bien \displaystyle C^1, on trouve \displaystyle f'(x) = \int_0^{+\infty} -t e^{-t^2} sin(xt) dt.

Par contre, je n'arrive pas à montrer que f vérifie bien l'équadiff.

On a \displaystyle f'(x) + \frac{x}{2} \, f(x) = \int_0^{+\infty}(e^{-t^2}(-t sin(xt) + \frac{x}{2} cos(xt)))dt,

mais après... Qu'en pensez-vous?

Merci d'avance.

Posté par
tealcre : Equadiff et intégrale impropre 16-04-08 à 19:47

salut

hum le te^{-t} ne t'inspire pas une IPP ?

Posté par
matixre : Equadiff et intégrale impropre 16-04-08 à 20:45

Pour quelle intégrale?

Posté par
tealcre : Equadiff et intégrale impropre 16-04-08 à 20:52

Pour f' . Dérive t->sin(xt) (pour x différent de 0, tu prolongeras par continuité) et intègres t->-te^{-t^2} (en t'assurant que l'IPP est justifiée bien sur)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Equadiff et intégrale impropre. 17-04-08 à 01:27

Je m'incruste

pas besoin d'une IPP ;

en notant , pour x fixé , \fbox{g\;:\;t\to sin(xt)} on a 4$\fbox{\left(g(t)e^{-t^2}\right)^'=\left(g'(t)-2tg(t)\right)e^{-t^2}=2\left(-tsin(xt)+\frac{x}{2}cos(xt)\right)e^{-t^2}}

Posté par
tealcre : Equadiff et intégrale impropre 17-04-08 à 08:21

roooo même pas drôle :p

(lu elhor ^^)

Posté par
matixre : Equadiff et intégrale impropre 17-04-08 à 13:51

Bonjour,

J'ai fait l'IPP, et ça marche parfaitement! Concernant la méthode de elhor, je n'ai pas bien compris quel est l'objectif, la méthode utilisée...

D'autre part, pour finaliser l'exo, on me demande d'expliciter la fonction f. De façon quasi-immédiate, je trouve \displaystyle f(x)= K e^{-\frac{x^2}{4}}, avec K une constante quelconque.
Vous confirmez?

Posté par
tealcre : Equadiff et intégrale impropre 17-04-08 à 13:55

Je confirme au vue de l'équa diff. Il te reste à déterminer K en utilisant la valeur en 0 qui t'es fournis

Posté par
matixre : Equadiff et intégrale impropre 17-04-08 à 15:08

Je ne crois pas que la valeur en 0 me soit fournie...

Posté par
tealcre : Equadiff et intégrale impropre 17-04-08 à 15:10

si si, puisque en 0, c'est l'intégrale f(0)=\Bigint_0^\infty e^{-t^2}dt qui t'es donnée

Posté par
matixre : Equadiff et intégrale impropre 17-04-08 à 17:07

ok! Merci bien!


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