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equadiff non-linéaire d'ordre 2 à coeffs constants
Bonjour,
un ami réalisant un TIPE à dominante de physique s'est retrouvé devant l'équation différentielle :
d²teta/dt² = d²teta/dt² +g/L*cos(teta) = 0
ou teta est une fonction du temps.
Voici un raison que j'ai commencé pour changer de variable :
d²cos(teta) = -cos(teta)d²teta
donc
d²teta/dt² = -(1/cos(teta))d²cos(teta)/dt²
changement de variable X <-> cos(teta)
l'equadiff devient
-1/X * d²X/dt² + g/l*X = 0
on multiplie par X
d²X/dt² = (g/l)*X²
Reste cette équation en X(t) à résoudre, auriez-vous une idée ?
Merci 
Bonjour,
je n'ai pas vérifier si ta dernière équation que tu as déduis est correcte ou pas, mais sinon vous n'avez jamais fais la séparation des variables en physique ?
bon ben tu fais ce qui suit :
d²X/X²= (g/l)*dt² ... maintenant il ne reste plus qu'à intégrer deux fois et je pense que c'est gagné !
Ben oui désolé, je me rend compte que j'ai dit une grosse bêtise.
Je viens de voir que cette equation différentielle a été donnée à l'oral d'ENS Ulm !!! Donc il faut pas trop espéré de trouver une solution immédiatement !
Cependant on peut commencer par multiplier ta toute première equation en théta, que je note t, par t point, ensuite intègre et dis moi ce que cela donne !
Bonjour, sunmat
d²cos(teta) = -cos(teta)d²teta
Ce résultat est faux, il me semble.
d²teta/dt² +g/L*cos(teta) = 0
C'est bien cette équation différentielle qu'il faut résoudre ? Parce qu'elle n'est pas loin de l'équation différentielle très classique:
d²teta/dt² +g/L*sin(teta) = 0
De plus, quelles sont les conditions initiales ?
Il faudrait aussi préciser ce que ton ami cherche à faire avec cette équation différentielle ...
Je la trouve pas très classique la seconde (en sinus)...
Pour les conditions initiales, je sais pas, mais ça importe peu pour la résolution de toute façon, en tout cas pour trouver une forme générale, laquelle deviendra une solution particulière avec les conditions initiales.
Mon ami cherche à établir des équations de mouvements sur les armes de siège (catapulte, trébuché), je n'en sais pas plus.
L'équation avec des sinus, c'est l'équation du pendule. Donc, elle a été très bien étudiée ...
Les conditions initiales importent beaucoup. Soit le mouvement est peu important et on peut faire l'approximation sin(theta) = theta (theta restant petit). Soit il est important et on ne peut plus faire cette approximation. Mais, dans ce cas, il y a aussi des frottements, et l'équation différentielle ne peut pas être aussi simple.
Bonjour à tous,
Je suis l'ami de Sunmat en question, j'étudie pour l'instant le mouvement du contrepoids d'un trébuchet (pris sans le bras qui tient le projectile), qu'on peut donc considérer comme un pendule pour le début du mouvement.
J'ai obtenu l'équation :
d²theta/dt² +g/L*cos(theta) = 0
(équation qu'on peut trouver en sin(theta) selon la définition de l'angle)
Le problème, justement, est que theta varie fortement au cours du mouvement, on ne peut pas utiliser l'équivalent en 0 de sin(theta).
Dans le début de l'étude, je pensais me passer des frottements, et je me demandais juste comment l'on résolvait cette équation.
Moi je vous dirais que votre problème se ramène à la résolution de cette primitive : intégrale (1/racine(Asin(théta) + B)*d(théta)) avec A et B des constantes... Vous voyez comment la résoudre ?
Bonjour, ZenithM.
Il y a un excellent sujet de concours sur cette équation:
Concours Commun Polytechnique, option M, deuxième épreuve, 1996
(à l'époque, le concours commun polytechnique s'appelait concours des ensi).
Je pense qu'il est possible de récupérer l'énoncé et le corrigé de cette épreuve , au besoin en demandant à ton prof.
Il n'est pas possible de résumer tout cela en quelques lignes (ou même en une page).
-> hatimy:
l'intégrale à laquelle tu fais allusion est une intégrale elliptique. Tu connais la théorie des intégrales elliptiques ?
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