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Equadiff + série entière

Posté par
fusionfroide 07-03-07 à 18:58

Salut
Je dois résoudre 4$z^2f^'-f=-z à l'aide d'un développement en série entière.

Je trouve 4$a_0=a_1=1 et 4$a_n=(n-1)a_{n-1}

Que trouvez-vous ?

Merci !

Posté par
fusionfroidere : Equadiff + série entière 07-03-07 à 19:21


Merci

Posté par
fusionfroidere : Equadiff + série entière 07-03-07 à 20:48

Posté par
raymond Correcteurre : Equadiff + série entière 07-03-07 à 20:57

Bonsoir.

Je trouve : a0 = 0, a1 = a2 = 1 et pour n > 1 , an = n - 1.
(Sauf erreur).

A plus RR.

Posté par
fusionfroidere : Equadiff + série entière 08-03-07 à 00:09

Merci Raymond, je vais te donner mon raisonnement

Posté par
fusionfroidere : Equadiff + série entière 08-03-07 à 00:18

Supposons que f soit développable en série entière ayant un rayon de convergence R>0

On a : 2$f(z)=\Bigsum_{n=0}^{\infty}a_nz^n

Donc 2$f^'(z)=\Bigsum_{n=1}^{\infty}na_nz^{n-1}

Donc 2$z^2f^'-f=-z donne succesivement :

2$\Bigsum_{n=1}^{\infty}na_nz^{n+1}-\Bigsum_{n=0}^{\infty}a_nz^n=-z

2$\Bigsum_{n=2}^{\infty}(n-1)a_{n-1}z^n-\Bigsum_{n=0}^{\infty}a_nz^n=-z

2$\Bigsum_{n=1}^{\infty}(n-1)a_{n-1}z^n-\Bigsum_{n=1}^{\infty}a_nz^n-a_0=-z

2$\Bigsum_{n=2}^{\infty}[(n-1)a_{n-1}-a_n]z^n-a_1z-a_0=-z

Vois-tu une faille ?

Merci

Posté par
fusionfroidere : Equadiff + série entière 08-03-07 à 00:20

Ou si quelqu'un d'autre a le courage de s'y pencher

Posté par
tealcre : Equadiff + série entière 08-03-07 à 00:22

eh bien ton résultat est bon !

on déduit a0 = 0, a1=1 et ensuite pour tout n >1   an=(n-1) a_(n-1)

donc on déduit que a0 = 0  et an = (n-1)! par récurrence

sauf erreur

Posté par
fusionfroidere : Equadiff + série entière 08-03-07 à 00:29

Merci tealc pour ta confirmation


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