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Niveau Licence Maths 1e ann
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Equas Diffs et Séries Entières (comprendre une correction)

Posté par
bry
19-05-14 à 00:21

Bonjour,

J'essaie de comprendre la méthode de résolution des équations différentielles par les séries entières, j'ai la correction d'un exo sous les yeux mais je bloque sur un point.

ENONCE:

On considère l'équation différentielle suivante :
(E) : 4xy" + 2y' - y = 0
Rechercher une solution j de (E) développable en série entière.

SOLUTION:

En série entières on a:

f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}x^{n}
f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} na_{n}x^{n-1}
f''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1)a_{n}x^{n-2}

On remplace dans l'équa diff:

=> 4x\sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1)a_{n}x^{n-2}+2\sum_{n=1}^{+\infty} na_{n}x^{n}-\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}x^{n}=0

=> \sum_{n=1}^{+\infty} 4(n+1)na_{n+1}x^{n}+\sum_{n=0}^{+\infty} 2(n+1)a_{n+1}x^{n}-\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}x^{n}=0

=> 2a_{1}-a_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty} ((2n+2)(2n+1)a_{n+1}-a_{n})x^{n}=0
etc...

Pouvez m'expliquer comment on passe de l'avant dernière ligne à la dernière? Dans la dernière ligne je ne comprends ni d'où sort le 2a_{1}-a_{0}, ni le reste de l'équation.

Merci d'avance.

Posté par
bry
re : Equas Diffs et Séries Entières (comprendre une correction) 19-05-14 à 00:28

J'ai fait une faute en recopiant la solution.
Il fallait lire

=> 4x\sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1)a_{n}x^{n-2}+2\sum_{n=1}^{+\infty} na_{n}x^{n-1}-\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}x^{n}=0

Posté par
veleda
re : Equas Diffs et Séries Entières (comprendre une correction) 19-05-14 à 00:53

bonsoir,
*le terme constant
on l'obtient en faisant n=0 dans les deux dernières sommes de l'avant dernière ligne
2(0+1)a_1-a_1
*le terme en x^n pour n1
il y en a un dans chacune des sommes
4n(n+1)a_{n+1}x^n +2(n+1)a_{n+1}x^n-a_nx^n=(2(n+1)(2n+1)a_{n+1}-a_n)x^n

Posté par
bry
re : Equas Diffs et Séries Entières (comprendre une correction) 19-05-14 à 12:39

Merci,

Pour le terme constant: ok j'ai compris, (enfait on fait meme n=0 dans les 3 sommes et la 1ere devient nulle)

Pour le terme en xn: Je comprends pas qu'on puisse factoriser alors que les 3 sommes n'ont pas les mêmes bornes.

Posté par
lafol Moderateur
re : Equas Diffs et Séries Entières (comprendre une correction) 19-05-14 à 12:45

Bonjour

et en l'écrivant comme ça :
\sum_{n=1}^{+\infty} 4(n+1)na_{n+1}x^{n}+\sum_{n=0}^{+\infty} 2(n+1)a_{n+1}x^{n}-\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}x^{n}= \sum_{n=1}^{+\infty} 4(n+1)na_{n+1}x^{n}+2(0+1)a_{0+1}x^{0}+\sum_{n=1}^{+\infty} 2(n+1)a_{n+1}x^{n}- a_{0}x^{0}-\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}x^{n}
tu vois mieux comment on peut factoriser, une fois les termes pour n = 0 mis à part dans les sommes qui commencent à n=0 ?

Posté par
bry
re : Equas Diffs et Séries Entières (comprendre une correction) 19-05-14 à 13:08

Merci,

Je viens de comprendre d'où vient cette factorisation.

Une dernière chose:
L'auteur de la solution en déduit a_{1}=a_{0}/2

Ca signifie qu'il considère \sum_{n=1}^{+\infty} ((2n+2)(2n+1)a_{n+1}-a_{n})x^{n}=0 mais je ne vois pas pourquoi.

Posté par
lafol Moderateur
re : Equas Diffs et Séries Entières (comprendre une correction) 19-05-14 à 13:13

non, ça veut juste dire qu'à droite du "égal", on a la fonction nulle, et que donc à gauche aussi.

le développement en série entière de la fonction nulle est 0 + 0 x + 0x² + ...

il y a unicité du développement en série entière : donc le coeff constant doit être zéro, ainsi que tous les autres.



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