salut
c'est une equation finalement simple car le membre de gauche ne contient pas de y ou y'
donc il te suffit d'intégrer deux fois pour trouver y=.....
et les conditions y(0) = y'(0) = 0 te donneront les constantes d' intégration

bye

Et puis elle est linéaire ton équadiff.

Bonjour !

Je cherche à résoudre l'équation différentielle suivante

d²y/dx² = (1-a)*exp(y) + a*exp(-y) ; y(0) = y'(0) = 0
Je ne connais pas d'astuces ou de méthode d'approximation pour cette équation, quelqu'un aurait il une idée ?

Bonjour !

Je cherche à résoudre l'équation différentielle suivante

d²y/dx² = (1-a)*exp(y) + a*exp(-y) ; y(0) = y'(0) = 0
Je ne connais pas d'astuces ou de méthode d'approximation pour cette équation, quelqu'un aurait il une idée ?

*** message déplacé ***

ah oui effectivement c'est plus la même limonade....
je réfléchis.....
_{si si ça m'arrive!}

y'' = (1-a).e^y + a.e^-y

Multiplier les 2 membres par y'

y''.y' = (1-a).e^y.y' + a.e^-y.y'

on intègre -->

y' = (1-a).e^y - a.e^-y + K1

y'(0) = 0 et y(0) = 0 --> 0 = (1-a) - a + K1
K1 = 2a - 1

y' = (1-a).e^y - a.e^-y + 2a - 1

Poser e^y = t
y' = t'/t

t'/t = (1-a).t - a/t + 2a - 1

t' = (1-a)t² + (2a-1)t - a

dt/dx = (1-a)t² + (2a-1)t - a

dt/[(1-a)t² + (2a-1)t - a] = dx (1)

Or [(1-a)t² + (2a-1)t - a] = (1-a).(t + (1/(1-a))(t + (a+1)/(a(1-a))
--> on met dt/[(1-a)t² + (2a-1)t - a] sous la forme : (1-a) * [A/(t + (1/(1-a))) + B/(t + (a+1)/(a(1-a)))

On détermine A et B ... et on peut alors intégrer (1)

On devrait arriver à  ln|f(t)| = x + K2

on peut ensuite remplacer t par e^y, puis déterminer K2 par les conditions initiales. On aura ainsi le relation liant y et x.
-----
Sauf distraction ou erreur. (A vérifier)
  

*** message déplacé ***

Bonjour ;

Attention, le multipost est interdit sur l'île.

(Lien cassé)

Bonjour ;

une primitive de est plutôt _{(sauf erreur bien entendu)}

*** message déplacé ***

Salut elhor_abdelali

Heureusement que je termine mes messages par "Sauf distraction ou erreur".

...

(1/2)y'² = (1-a).e^y - a.e^-y + K1

y'² = 2(1-a).e^y - 2a.e^-y + K2

y'= +/- V[2(1-a).e^y - 2a.e^-y + K2]

...

Toujours, sauf distraction ou erreur.


*** message déplacé ***

Une idée de solution dans le cas ;


Condition nécessaire : l'expression montre clairement que est strictement positive
_{(comme barycentre à coefficients positifs de deux quantités strictement positives)}.
il s'en suit alors que est strictement croissante et vu que on voit que ,
est strictement croissante sur et strictement décroissante sur .

En multipliant l'égalité (en bleu) par et en intégrant (en tenant compte de ) on a ,



si admettait une limite finie en on aurait
et serait solution de l'équation dont l'unique solution strictement positive est .

On a donc nécessairement et est une bijection de sur lui même ce qui permet d'écrire ,



ce qui donne _{(à suivre sauf erreur bien entendu)}


*** message déplacé ***

Si est la primitive s'annulant en de la fonction

(vu que , existe et est continue strictement croissante de vers où ) ,

et il est alors facile de voir que

et donc (égalité restant valable en ).

Le théorème de Cauchy-Lipshitz assurant l'existence et l'unicité de la solution maximale de l'équation différentielle et comme si est solution est aussi solution

la solution cherchée est nécessairement paire.

Condition suffisante : Dans le cas ,

La fonction est la solution maximale de .



Application :


La solution maximale de est .


La solution maximale de est .

_{(sauf erreur bien entendu)}