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Equation

Posté par
Ehrmantraut 28-09-24 à 22:31

Bonsoir,

Il m'est demandé de démontrer que:
(z-1)^n=(z barre+1)^n où n est un naturel impair n'admet aucune solution dans \mathbb{C}

Mon idée:
(z-1)^n=(z barre+1)^n
(z-1)^n-(z barre+1)^n=0
(z-1-z barre-1)^n \cdot \sum_{i=1}^{n} (z-1)^{n-k} \cdot (zbarre+1)^{k-1}=0

Et là, je bloque. Je tourne en rond... J'ai essayé d'autres solutions mais rien n'y fait.
Les exposants n m'invitent à passer en forme trigonométrique mais bof :/

Des idées?

Un grand merci à ceux qui contribueront!

Posté par
carpediemre : Equation 29-09-24 à 10:16

salut

après avoir justifié ... ce qu'il faut justifier tu poses Z = \dfrac {z - 1} {\bar z + 1} et tu es ramené à résoudre l'équation Z^n = 1

Posté par
neyadax283re : Equation 02-10-24 à 12:45

use z=1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Equation 02-10-24 à 14:50

neyadax283 @ 02-10-2024 à 12:45

use z=1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Equation 07-10-24 à 08:34

Bonjour,
Après quelques jours sans réaction de Ehrmantraut, je m'autorise de proposer une autre piste peut-être plus simple.

Si (z-1)^{n} = (\bar{z}+1)^{n} alors |z-1| = |\bar{z}+1|

Or |\bar{z}+1| = |z+1|.
On en déduit que les solutions sont imaginaires pures.
Remplacer z par ib avec b réel, permet de faire apparaître du (-1)n puis d'utiliser la parité de n.

Posté par
carpediemre : Equation 07-10-24 à 19:25

je dirai plutôt qu'on a : si |z - 1| = |\bar z + 1| alors |z - 1|^n = |\bar z + 1|^n

mais la réciproque ? quel argument va nous proposer Ehrmantraut ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Equation 07-10-24 à 20:24

Il sait factoriser an - bn.


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