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équation avec arctan

Posté par taupe_03 (invité) 24-09-05 à 15:34

bonjour,
j'arrive a la dernière question de mon DM que je ne parviens pas à résoudre:
elle consiste à résoudre l'équation arctan(x-1)+arctan(x)+arctan(x+1)=pi/2.
Pourriez vous me donner une petite piste s'il vous plait?
merci d'avance

Posté par
ottore : équation avec arctan 24-09-05 à 15:40

Bonjour,
je n'ai pas essayé, mais as tu tenter un truc du genre:
Passer arctan(x) à droite et composer à gauche par tan des 2 cotés.
Sinon tu as tu des trucs intéressants? Genre unicité de la solution, ou périodicité des solutions ou...?

Posté par taupe_03 (invité)re : équation avec arctan 24-09-05 à 15:43

merci otto je vais essayer
sinon jai montré l'unicité de la solution avec le TVI.

Posté par taupe_03 (invité)re : équation avec arctan 24-09-05 à 16:02

j'ai fait ce que tu m'as dis et j'ai composé par tan puis appliqué la formule d'addition,le problème c'est que tan n'est pas définie pour x=pi/2 donc je bloque à ce niveau la.
Sinon j'ai trouvé la solution graphiquement en valeur approché,x=0.816(étude de la foncion x-> arctan(x-1)+arcatn(x)+arcatn(x-1), puis TVI), mais c'est tout.
merci de me donner un petit coup de main de plus.

Posté par
piepalmre : équation avec arctan 24-09-05 à 18:15

que vaut tan(pi/2-a) ?...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : équation avec arctan 24-09-05 à 19:57

Bonjour;
en posant 2$\fbox{f(x)=arctan(x-1)+arctan(x)+arctan(x+1)} tu peux commencer par remarquer que:
(*)f(0)=0.
(*)f et strictement croissante sur \mathbb{R} (somme de fonctions strictement croissantes).
(*)f(\mathbb{R})=]\lim_{-\infty}f,\lim_{+\infty}f[=]-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}[
et via la continuité de f l'équation \fbox{f(x)=\frac{\pi}{2}} admet donc une solution unique strictement positive.
\fbox{f(x)=\frac{\pi}{2}\Longleftrightarrow arctan(x-1)+arctan(x+1)=\frac{\pi}{2}-arctan(x)=arctan(\frac{1}{x})} en composant par tan on a que:
\fbox{\frac{(x-1)+(x+1)}{1-(x-1)(x+1)}=\frac{2x}{2-x^2}=\frac{1}{x}} on trouve:
3$\blue\fbox{x=sqrt{\frac{2}{3}}}
Sauf erreur bien entendu

Posté par taupe_03 (invité)re : équation avec arctan 24-09-05 à 20:17

merci beaucoup elhor_abdelali!je n'avais pas pensé à cela!


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