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Equation avec les complexes
Bonjour
Je n'arrive pas à résoudre l'équation dans C : (z+a)^n+(a-z)^n=0 avec a réel non nul et n entier naturel non nul. Il faut distinguer si n est pair ou impair.
Après on pose le polynome P(X)=(X+a)^n+(a-X)^n, déterminer son degré et le coefficient dominant et enfin décomposer P sous forme de fractions irréductibles sur R[X].
Merci beaucoup.
saloute,
1er cas : n impair
( -1 = (-1)^n )
(ceci car z!=a car sinon 0^n = 2^n ce qui n'est pas puisque n>0 )
est 1 racine n-ieme de l'unité
avec e(k) = exp(
)
(car e(k)!=1 sinon 0=2 !!!)
reste à arranger et c'est bon sauf erreur de ma part !
pour n pair ce sera la racine n-ieme mais de -1 cette fois ci !
2) maintenant qu'on a les racines du polynome c'est plus simple !
Etes vous sur de votre réponse, je ne trouve pas la meme chose.
et bien ... mets ta solution ! mais à premiere vue ma solution semble correcte
Je trouve comme jiju33
Pour arranger, on met en facteur e ik
/n tant au numérateur qu'au dénominateur.On peut alors simplifier par ce facteur.
Il vient z = a (e ik/n+ e -ik/n)/[e ik/n- e -ik/n]
Daprès les formules de sinus et cosinus, on a :
- au numérateur: a 2 cos (k/n)
- au dénominateur: 2i sin (k/n)
d'où z = a / i * cotan (k/n)
ou - a i cotan(k/n)
Sauf erreur.
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