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Équation cartésienne d'un plan

Posté par
Krayz 14-03-18 à 14:39

Bonjour,

Citation :
Dans le repère (O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}) de l'espace, on considère les points A(-1 ; 1 ; -2), B(2 ; 0 ; 1) et C(1 ; -3 ; -1).

1. Démontrer que les points A, B et C déterminent un plan.
2. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).


1. Afin de démontrer que les points A, B et C déterminent un plan, montrons que ces points ne sont pas alignés et plus spécifiquement que les vecteurs \vec{AB} et \vec{AC} ne sont pas colinéaires.

\vec{AB}(3 ; -1 ; 3)
\vec{AC}(2 ; -4 ; 1)

\vec{AB} et \vec{AC} ne sont pas colinéaires car \vec{AB} \neq k\vec{AC}  (k \in \mathbb{R})

Conséquence : A, B et C ne sont pas alignés et forment donc un plan.

2. \vec{n}(a ; b ; c) est un vecteur normal au plan et est orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires du plan.

(S) : \left\lbrace\begin{array}l \vec{n}.\vec{AB}=0 \\ \vec{n}.\vec{AC}=0 \end{array}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l 3a-b+3c=0 \\ 2a-4b+c=0 \end{array}

Posons c = 1 :

\left\lbrace\begin{array}l 3a-b+3=0 \\ 2a-4b+1=0 \end{array} \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l -12a+4b-12=0 \\ 2a-4b+1=0 \end{array}

D'où a = -1,1 et b = -0,3.

Finalement, \vec{n}(-1,1 ; -0,3 ; 1).

(ABC) a pour vecteur normal \vec{n} donc son équation cartésienne est de la forme -1,1x - 0,3y + z + d = 0.

A(-1 ; 1 ; -2) \in (ABC) \Longleftrightarrow -1,1 \times (-1) - 0,3 \times 1 -2 + d = 0 \\ \Longleftrightarrow -1,2 + d = 0 \Longleftrightarrow d = 1,2.

Donc une équation cartésienne de (ABC) est -1,1x - 0,3y + z + 1,2 = 0.

Citation :
Est-ce correct ?


Bon après-midi !

Krayz.

Posté par
larrechre : Équation cartésienne d'un plan 14-03-18 à 15:23

Bonjour,

C'est bien, mais (encore que ce soit correct), évitez les nombres décimaux.

a=-\dfrac{11}{10}, b=-\dfrac{3}{10}, etc. et -11x-3y+10z+12=0 pour l'équation, dans laquelle on pourrait aussi changer les signes.

Posté par
Krayzre : Équation cartésienne d'un plan 14-03-18 à 16:43

Noté.

Posté par
carpediemre : Équation cartésienne d'un plan 14-03-18 à 16:51

salut

ou encore :

si n = (-1,1 ; -0,3 ; 1) est un vecteur normal alors 10n en est aussi un

utiliser des valeurs décimales reflète l'incapacité ou l'inexpérience dans le calcul mental ... toujours plus simple avec des entiers évidemment ...

Posté par
larrechre : Équation cartésienne d'un plan 14-03-18 à 16:51

Posté par
Krayzre : Équation cartésienne d'un plan 14-03-18 à 16:54

Salut,

Il en existe en effet une infinité, je le sais bien

J'ai juste l'habitude de laisser des valeurs décimales dans mes résultats

Posté par
carpediemre : Équation cartésienne d'un plan 14-03-18 à 17:23

très mauvaise habitude quand on fait des math sérieusement ...

Posté par
Krayzre : Équation cartésienne d'un plan 14-03-18 à 17:26

Tu as raison, c'est vrai.

Posté par
littleguyre : Équation cartésienne d'un plan 14-03-18 à 17:29

Bonjour,

De plus, la rédaction des questions 1 et 2 n'est guère rigoureuse...

Posté par
Krayzre : Équation cartésienne d'un plan 14-03-18 à 17:30

J'ai pris exemple sur ma leçon.

Posté par
littleguyre : Équation cartésienne d'un plan 14-03-18 à 17:31

Alors tu es pardonné.

Posté par
carpediemre : Équation cartésienne d'un plan 14-03-18 à 17:32

disons qu'il a synthétisé ce qu'il a fait sur sa copie ... en espérant que c'est le cas ...

c'est en tout cas une rédaction très maladroite (ce qui est présenté ici) ... mais voir la ligne du dessus ...

Posté par
Krayzre : Équation cartésienne d'un plan 14-03-18 à 17:37

Je rédige différemment au propre oui.

Posté par
larrechre : Équation cartésienne d'un plan 14-03-18 à 17:53

littleguy, carpediem,
bonjour, je trouve vos critiques bien sévères. Il est vrai qu'il y a des maladresses, et que c'est un résumé, mais des élèves de Terminale qui appliquent leur cours comme ça, par les temps qui courent, c'est rare... Mais il est vrai que je ne suis pas prof.

Posté par
littleguyre : Équation cartésienne d'un plan 14-03-18 à 18:00

Bonjour  larrech

Tu as raison mais à l'évidence Krayz est loin d'être, comment dire,  "médiocre" ; aussi  me suis-je  permis des remarques que je n'aurais jamais formulées dans d'autres circonstances. J'espère qu'il les prendra de façon positive.

Posté par
carpediemre : Équation cartésienne d'un plan 14-03-18 à 18:14

et je rajoute

carpediem @ 14-03-2018 à 17:32

disons qu'il a synthétisé ce qu'il a fait sur sa copie ... en espérant que c'est le cas ...

c'est en tout cas une rédaction très maladroite (ce qui est présenté ici) ... mais voir la ligne du dessus ...


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