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equation complexe

Posté par
aya4545 16-01-22 à 11:14

Bonjour
merci de m aider à faire cet exercice
\alpha un reel  de ]0;pi/4[
soit dans \C l equation :
(\frac{z+1}{z-1})^4+(\frac{z-1}{z+1})^4=2cos4\alpha (E)
montrez que les solutions de (E) sontdes imaginaires purs et resoudre  (E)
je dois donc montrer que si z est solution de Ealors z+\bar{z}=0 aucune idée
j ai posé \omega =(\frac{z+1}{z-1})^4 E est equivalente à \omega +\frac{1}{\omega}=2cos4\alpha et
\omega =(\frac{z+1}{z-1})^4  donc  \omega^2-2\omega cos4\alpha+1=0
les solutions sont  \omega=e^{4i\alpha}ou \omega=e^{-i4\alpha}
les racines quterieme de e^{4i\alpha} sont e^{i\alpha}  ;e^{i\alpha}.i;-e^{i\alpha}.;-e^{i\alpha}.i
les racines quterieme de e^{-4i\alpha} sont e^{-i\alpha}  ;e^{-i\alpha}.i;-e^{-i\alpha}.;-e^{-i\alpha}.i ....
on peut chercher ces racines autrement  on posant z=ix
avec x reel non nul mais ce qui me bloque c est de montrer que z est imaginaire pur et merci

Posté par
LeHiboure : equation complexe 16-01-22 à 12:51

Bonjour,

Le travail est presque terminé, il reste à repasser des valeurs possibles des racines quatrièmes aux valeurs possibles de z, par exemple :
(z+1)/(z-1) = exp(i)
=> z = ...
et à constater que, dans tous les cas possibles, z est imaginaire pur.
Pour faciliter le calcul, dans l'expression fractionnaire que tu vas obtenir pour z, tu peux mettre exp(i/2) en facteur au numérateur et au dénominateur.

Posté par
aya4545re : equation complexe 16-01-22 à 13:16

salut
merciLeHibou
mais l exercice est composé de 2 questions
1)montrez que les solutions de (E) sontdes imaginaires purs
2)resoudre  (E)
donc je dois justifier  en premier lieu  que les solutions de (E) sontdes imaginaires purs  puis après
2)resoudre  (E)

Posté par
carpediemre : equation complexe 16-01-22 à 13:20

salut

je réfléchissais depuis longtemps et ne trouvait rien de concluant donc je ne suis pas intervenu ...

LeHibou : certes ... mais c'est quasiment équivalent à donner les solutions pour constater qu'elles sont imaginaires pures !!!

l'idée que j'ai mais que je n'arrive pas à finaliser :

le membre de droite de l'équation est la somme d'un complexe et de son inverse ...
que l'on considère les puissances ou non l'idée est démontrer que le module est 1

car : le module de (z + 1)/(z - 1) est 1 <=> z est imaginaire pur

...

Posté par
aya4545re : equation complexe 16-01-22 à 13:31

salut
le module de (z + 1)/(z - 1) est 1 <=> z est imaginaire pur
merci carpediem j ai vu cet exercice sur l ile j ai essayé d integrer son resultat dans cet exercice mais en je ne suis pas parvenue

Posté par
aya4545re : equation complexe 16-01-22 à 13:42

salut
jai meme montré que (z + 1)/(z - 1) est imaginaire pur< => |z|=1  
avec z different de1

Posté par
lakere : equation complexe 16-01-22 à 15:19

Bonjour,

  En espérant que ce qui suit convienne :

   Soit Z=\dfrac{z+1}{z-1} avec z\not=\pm 1

L'équation de départ est équivalente à :
Z^4+\dfrac{1}{Z^4}=2\,\cos\,4\alpha

qui donne Z^4=e^{\pm4\,i\alpha}

Donc |Z|=1 d'où on déduit quasiment immédiatement que z+\bar{z}=0

Je me demande si je n'ai pas enfoncé une porte ouverte ...

Posté par
carpediemre : equation complexe 16-01-22 à 18:04

intéressant mais à voir !!

comment passes-tu de l'équation à qui donne ... ?

parce que je suis d'accord avec ce passage uniquement si on sait à l'avance que [Z| = 1

et nous on veut la réciproque !!!

ou alors oui en détaillant ainsi :

Z^4 + \dfrac 1 {Z^4} = 2 \cos 4a \iff Z^8 - 2Z^4 \cos 4a + 1 = 0 \iff (Z^4 - \cos 4a)^2 + \sin^2 4a = 0 \iff (Z^4 - e^{i4a})(Z^4 - e^{-i4a}) = 0

et là oui on en déduit que |Z| = 1 donc que z est imaginaire pur ...

c'est ce à quoi j'avais pensé dès le début mais je trouvais qu'on résolvait "trop" l'équation (un classique)

Posté par
lakere : equation complexe 16-01-22 à 18:14

Bonsoir carpediem,

Oui, le gros bémol, c'est qu'on commence à résoudre l'équation (E).
Je ne vois rien d'autre pour l'instant.
Ceci dit, te connaissant un petit peu, je pense que tu as "conjugué" l'équation (E) puis différence qui ne donne pas grand chose de bon. J'avais commencé de la même manière ... et très vite déchanté

Posté par
lakere : equation complexe 16-01-22 à 18:16

Au fait, je ne comprends rien à tes histoires de "réciproques"

Posté par
lakere : equation complexe 16-01-22 à 18:41

J'enfonce le clou ; la première question litigieuse :

Citation :
montrez que les solutions de (E) sont des imaginaires purs


Je pense que 15h19 prouve que :

  z\text{ solution de }(E)\Longrightarrow |Z|=1\Longrightarrow z+\bar{z}=0

Non ?

Posté par
aya4545re : equation complexe 16-01-22 à 18:53

merci
c est un exercice proposé dans un devoir  surveillé
avec 2 questions seulement je  vois qu il fallait ajouter une question preliminaire    Z=\dfrac{z+1}{z-1}  avec z\not=\pm 1  montrer que |Z|=1 puis en deduire  que z
est imaginaire pur c est difficile avec le stress du devoir d y penser à ca
merci infinement pour vos conseils et a bientot sur l ile

Posté par
Sylvieg Moderateurre : equation complexe 16-01-22 à 19:11

Bonsoir,
Moi aussi j'enfonce le clou

Citation :
comment passes-tu de l'équation à qui donne ... ?
en mettant les points sur les i :

Avec T =\left(\dfrac{z+1}{z-1} \right)^{4}, T est solution de l'équation de degré 2 suivante :
T2 - 2cos(4)T - 1 = 0
Ses solutions sont e4i qui ont pour module 1.

Posté par
lakere : equation complexe 16-01-22 à 19:15

Bonsoir Sylvieg,

On enfonce beaucoup : des clous, des portes ouvertes ...

Posté par
carpediemre : equation complexe 16-01-22 à 19:32

ha ben voila quand on a tout l'énoncé ... et qui est exactement mon idée :

1/ montrer que |Z| = 1
2/ en déduire que z est imaginaire pur

et effectivement je ne vois guère comment faire que de résoudre l'équation en Z

et pour répondre à lake sur deux choses :

oh non je n'ai surement pas conjugué reconnaissant le classique w + 1/w = 2 cos 4a (*)    avec w = Z^4

et pour cette histoire de réciproque :

si Z = exp(i4a) alors il est "évident" que :
a/ |Z| = 1
b/ Z vérifie l'équation (*) ( évident et classique par expérience ... mais évidemment pas pour un lycéen)

mais il n'est donc pas évident que la réciproque est vraie : Z vérifie l'équation (*)=> |Z| = 1 sans résoudre explicitement l'équation

PS : l'équation w + 1/w = 2 \cos t est un classique qui conduit à une équation du second membre qui se factorise sans pb connaissant la relation \cos^2 x - i^2 \sin^2 x = 1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : equation complexe 16-01-22 à 19:33

Mais quand on parle de nombres complexes, je préfère mettre les points sur les i

Posté par
carpediemre : equation complexe 16-01-22 à 19:35

ha ben il y a eu de l'intervention entre temps !!!

oui Sylvieg : c'est ce que je dis à 18h04 avec mon équation du second degré en la variable Z^4

et que je complète avec mon msg précédent ...


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