Bonjour.
J'ai un problème sur les équations d'Euler.
On considère l'équation différentielle sur R+* : x2y'' + axy' + by = c(x) avec a et b deux réels et c une fonction continue de R* vers R.
Soit u > 0 on note fu la fonction qui à x réel strictement positif associe xu.
On veut déterminer une condition sur u pour que fu soit solution de l'équation différentielle homogène.
Alors je procède comme ça au début :
je suppose que xu est solution donc j'ai :
xu(u(u-1)+au+b) = 0 après développement
Puisque xu n'est jamais nul on a nécessairement u2+u(a-1)+b = 0. En gros, u doit être solution de cette équation (c'est l'équation caractéristique associée à l'équation différentielle il me semble).
Est-ce correct ? Manque-t-il quelque chose ?
Je crois qu'il faut montrer réciproquement que si u est solution de l'équation caractéristique alors il est solution de l'équation différentielle homogène mais je ne vois pas comment faire.
Un grand merci par avance pour vos réponses.
salut
oui c'est bon ...
la relation
Désolé de vous déranger à nouveau ^^
Du coup, on peut résoudre ce genre d'équations :
x2y'' - xy' - 3y = 3 + ln(x)x2 ? (C'est la question qui suit dans mon problème).
En fait, on a déjà montré qu'on pouvait effectuer un changement de variable x = et en introduisant g:tR-->f(et) où f:R*+-->R deux fois dérivable.
Du coup l'équation s'écrit :
g''(t) + (a-1)g'(t) +bg(t) = c(et)
J'ai donc essayé d'appliquer cette méthode pour résoudre l'équation demandée, j'obtiens :
y'' - 1/x y' - 3y*1/x2 = 3/x2 + ln(x) car x > 0
En posant x = et j'arrive à ça :
y'' - e-ty' - 3ye-2t = 3e-2t + t
Le problème, c'est que je ne vois pas du tout comment résoudre ça. À la rigueur l'équation homogène est faisable, mais pour la solution particulière je ne sais pas !
D'autant plus que je ne sais pas si l'énoncé est vraiment bon car la fonction f n'est pas la même que fu a priori (mais je peux me tromper).
Avez-vous des pistes ?
Si y : ]0 , +[
est 2 fois dérivable et vérifie x²y"(x) - xy'(x) - 3y(x) = 3 + x².ln(x) pour tout x > 0 , l'application z = y o exp est aussi 2 fois dérivable et vérifie z"(t) - 2z '(t) - 3z(t) = 3 + te2t pour tout réel t .
sauf erreur
Bonsoir !
On peut aussi appliquer la méthode de variation des constantes à l'équation :
.
On connait une base de solutions de l'équation homogène :
et on cherche des fonctions telles que
soit solution avec la condition
Un peu de calculs donne les expressions :
Oui, je connais le principe de variation de la constante
Mais je ne l'ai vu que dans le cadre des équations du premier ordre. En fait, je ne comprends pas pourquoi il y a deux solutions pour l'équation homogène.
Bonjour,
Pour l'équation homogène ,nous remarquons que la puissance du terme générique d'un développement n'est pas altéré dans
. . .
alain
Bon après-midi,
L'énoncé supposait-il un 'type' de résolution?
Ma remarque précédente conduisait à la recherche d'un polynôme pour l'équation homogène.
Cette équation différentielle 2è ordre est équivalente à un système d'équations du 1er ordre:
Avec:
Bon,
Je dois corriger conduisait "à la recherche d'une fonction pour l'équation homogène";
nous pouvons obtenir des termes x^k ,k négatif. (ici ,dans l'énoncé on avait R* vers R ).
Alain
Merci pour vos réponses !
Je comprends bien pour l'équation homogène mais je ne vois pas comment faire pour la solution particulière.
Tu avais une solution ici :
Bonjour,
Hors champ: j'aimerais savoir ce que pense *lusak* de mes approches moins académiques?
Merci,
Alain
Bonjour,
Parler **d'astuces** n'est ni exact ni encourageant.
L'opérateur différentiel correspondant:peut s'écrire comme produit de 2 facteurs commutables:
Ce qui explique le système de 2 équations du 1 er ordre.
Je reviendrai sur l'équation d'Euler,
Alain
Avant je ne voyais qu'une "astuce" et ce n'était pas une injure non plus !
Maintenant que tu éclaires avec le produit d'opérateurs différentiels cela devient compréhensible.
Je vois plutôt ce qui conduirait à prendre
.
Pour la suite, par contre, je reste incapable d'écrire le système que tu proposes.
Bon après-midi,
J'avais pensé ,coquille!
pour le 'reste ' ,nous avons:
nous obtenons dans C et le système,
Alain
Bon,
C'est l'âge,je me plante souvent;mais continuons ,la suite des calculs peut conduire à la présence de termes
Je compte sur ton aide,
Alain
alainpaul
Ce que tu proposes consiste à résoudre deux EDL d'ordre 1 pour résoudre sur +* une Euler : x²y " + axy ' + by = g .
.Avec des calculs moins évidents que pour une y " + ay' + by = h (où l'utilisation de la factorisation de X² + aX + b = (X - r)(X - s) et des opérateurs D - rI , D - sI permettent aussi de se ramener à la résolution de 2 deux EDL d'ordre 1 )
Franchement, je ne vois rien d'autre que de résoudre les équations : .
Ce qui amène, pour trouver , à chercher des primitives de
: faisable mais plutôt pénible.
Ensuite il faudrait chercher des primitives de !
Honnêtement je m'en sors beaucoup plus vite par la méthode standard de variation des constantes sur l'équation initiale.
Mais il se peut que tu aies d'autres propositions ? Je veux bien les examiner mais pas à faire des calculs chronophages !
Bien sûr je pourrais proposer à MAPLE de me chercher mes primitives mais comme ce logiciel sait résoudre les équations d'Euler, ce serait un peu de la triche...
Bonsoir,
A **etniopal ** il s'agit de :
A **lusak**
Calculs chronophages:peut-être.
La méthode proposée s'étend à toutes les équations d'euler :
Les opérateurs différentiels se factorisent en facteurs du 1er degré commutables.
Alain
PS:d'accord sur ta proposition Maple
1. etniopal te propose de transformer l'équation d'Euler en une équation linéaire d'ordre 2 à coefficients constants : voir un de ses posts précédents.
2. Je ne vois toujours pas l'avantage de factoriser à l'aide d'opérateurs une équation dont la résolution se fait simplement par des moyens algébriques en cherchant les racines d'un polynôme de degré et en appliquant les résultats connus sur les équations linéaires d'ordre
, à savoir espace affine de dimension
, recherche d'une base de solutions pour l'équation homogène, méthode de variation des constantes pour l'équation complète.
3. Si tu veux une solution détaillée de l'équation considérée en utilisant ces méthodes, je suis à ta disposition.
PS : je corrige mon message de 17h30. J'ai oublié une division par : il faut chercher une primitive de
. Mais il faut avouer que cela reste du même niveau de calculs.
Bonjour et désolé pour l'affreux mélange dans ma tête entre tes compositions d'opérateurs et celles proposées par etniopal.
Il n'y a pas d'exponentielle dans l'utilisation de ton système.
Plus précisément
La résolution de :
(équation homogène)
(variation de la constante)
donc
Ensuite pour :
(équation homogène)
(variation de la constante)
soit puis
Bilan : c'est du même niveau de travail que l'utilisation directe de la variation des constantes pour l'équation d'Euler initiale.
Un plus : on reste dans l'utilisation des équations linéaires d'ordre 1 sous réserve de faire accéder des débutants à la subtilité de la composition des opérateurs.
Charge aux lecteurs éventuels de corriger les erreurs, s'il y a lieu !
Bonsoir,
2 remarques:
1)Les opérateurs correspondants à une équation d'Euler font partie d'un ensemble Ee ,sur celui-ci le produit de 2 éléments vérifie loi de composition interne.
2) ,forme intégrable.
Ton avis?
Alain
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