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Niveau Maths sup
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Équation d'Euler

Posté par
Etcha66
19-11-16 à 10:02

Bonjour.

J'ai un problème sur les équations d'Euler.
On considère l'équation différentielle sur R+* : x2y'' + axy' + by = c(x) avec a et b deux réels et c une fonction continue de R* vers R.

Soit u > 0 on note fu la fonction qui à x réel strictement positif associe xu.
On veut déterminer une condition sur u pour que fu soit solution de l'équation différentielle homogène.

Alors je procède comme ça au début :
je suppose que xu est solution donc j'ai :
xu(u(u-1)+au+b) = 0 après développement
Puisque xu n'est jamais nul on a nécessairement u2+u(a-1)+b = 0. En gros, u doit être solution de cette équation (c'est l'équation caractéristique associée à l'équation différentielle il me semble).

Est-ce correct ? Manque-t-il quelque chose ?
Je crois qu'il faut montrer réciproquement que si u est solution de l'équation caractéristique alors il est solution de l'équation différentielle homogène mais je ne vois pas comment faire.

Un grand merci par avance pour vos réponses.

Posté par
carpediem
re : Équation d'Euler 19-11-16 à 10:06

salut

oui c'est bon ...

la relation

Citation :
xu(u(u-1)+au+b) = 0 après développement
est une condition nécessaire et suffisante donc il y a équivalence ...

et la réciproque est démontrée ...

Posté par
Etcha66
re : Équation d'Euler 19-11-16 à 10:07

Merci bien !

Posté par
carpediem
re : Équation d'Euler 19-11-16 à 10:11

de rien

Posté par
Etcha66
re : Équation d'Euler 19-11-16 à 12:50

Désolé de vous déranger à nouveau ^^
Du coup, on peut résoudre ce genre d'équations :
x2y'' - xy' - 3y = 3 + ln(x)x2 ? (C'est la question qui suit dans mon problème).

En fait, on a déjà montré qu'on pouvait effectuer un changement de variable x = et en introduisant g:tR-->f(et) où f:R*+-->R deux fois dérivable.
Du coup l'équation s'écrit :
g''(t) + (a-1)g'(t) +bg(t) = c(et)

J'ai donc essayé d'appliquer cette méthode pour résoudre l'équation demandée, j'obtiens :
y'' - 1/x y' - 3y*1/x2 = 3/x2 + ln(x) car x > 0
En posant x = et j'arrive à ça :
y'' - e-ty' - 3ye-2t = 3e-2t + t

Le problème, c'est que je ne vois pas du tout comment résoudre ça. À la rigueur l'équation homogène est faisable, mais pour la solution particulière je ne sais pas !
D'autant plus que je ne sais pas si l'énoncé est vraiment bon car la fonction f n'est pas la même que fu a priori (mais je peux me tromper).

Avez-vous des pistes ?

Posté par
etniopal
re : Équation d'Euler 19-11-16 à 14:04

Si y : ]0 , +[    est 2 fois dérivable et vérifie x²y"(x) - xy'(x) - 3y(x) = 3 + x².ln(x) pour tout x > 0 , l'application z = y o exp est aussi  2 fois dérivable  et vérifie z"(t) - 2z '(t) - 3z(t) = 3 + te2t pour tout réel t .

sauf erreur

Posté par
luzak
re : Équation d'Euler 19-11-16 à 17:43

Bonsoir !
On peut aussi appliquer la méthode de variation des constantes à l'équation :
x^2y'' - xy' - 3y = 3 +x^2\,\ln(x).
On connait une base de solutions de l'équation homogène : x\mapsto\dfrac1x,\;x\mapsto x^3
et on cherche des fonctions u,v telles que x\mapsto\dfrac{u(x)}x+v(x)x^3 soit solution avec la condition \dfrac{u'(x)}{x}+v'(x)x^3=0

Un peu de calculs donne les expressions : u(x)=\dfrac{-3x}4+\dfrac{x^3}{36}-\dfrac{x^3}{12}\ln(x),\;v(x)=\dfrac{-1}{4x^3}-\dfrac{1+\ln(x)}{4x}

Posté par
Etcha66
re : Équation d'Euler 19-11-16 à 20:05

En fait je ne comprends pas bien le coup des deux fonctions u et v.

Posté par
luzak
re : Équation d'Euler 20-11-16 à 00:04

Il faut consulter un cours : variation des constantes

Posté par
Etcha66
re : Équation d'Euler 20-11-16 à 08:26

Oui, je connais le principe de variation de la constante
Mais je ne l'ai vu que dans le cadre des équations du premier ordre. En fait, je ne comprends pas pourquoi il y a deux solutions pour l'équation homogène.

Posté par
luzak
re : Équation d'Euler 20-11-16 à 09:06

Etcha66 @ 20-11-2016 à 08:26

Oui, je connais le principe de variation de la constante
Mais je ne l'ai vu que dans le cadre des équations du premier ordre. En fait, je ne comprends pas pourquoi il y a deux solutions pour l'équation homogène.

Entre " je connais" d'une part et "je ne l'ai vu que" d'autre part, il y a une contradiction logique que tu dois assumer :
ou bien n'utiliser que ce que tu connais et ne pas utiliser cette méthode pour les équations d'ordre 2.
ou bien mettre à jour tes connaissances.

...
Les solutions de l'équation homogène d'ordre 2 forment un espace de dimension 2 (tu connais ? ou tu ne l'as pas vu ?) et une base de cet espace est formée de DEUX fonctions.

Posté par
alainpaul
re : Équation d'Euler 20-11-16 à 11:49

Bonjour,

Pour l'équation homogène  ,nous remarquons que la puissance du terme générique a_ix^i d'un développement n'est pas altéré  dans x^2y'' ,axy' ,y

. . .


alain

Posté par
Etcha66
re : Équation d'Euler 20-11-16 à 12:48

luzak @ 20-11-2016 à 09:06


Les solutions de l'équation homogène d'ordre 2 forment un espace de dimension 2 (tu connais ? ou tu ne l'as pas vu ?) et une base de cet espace est formée de DEUX fonctions.


Non, je ne l'ai pas vu par contre.

Posté par
alainpaul
re : Équation d'Euler 20-11-16 à 14:38

Bon après-midi,

L'énoncé supposait-il un 'type' de résolution?
Ma remarque précédente conduisait à la recherche d'un polynôme pour l'équation homogène.

Cette équation différentielle 2è ordre est équivalente à  un système d'équations du 1er ordre:   xy'(x) + \beta y(x)=g(x)
 \\ xg'(x)+\alpha g(x)=c(x)

Avec:a=\alpha+\beta+1 ,b=\alpha \beta

Posté par
alainpaul
re : Équation d'Euler 20-11-16 à 14:51

Bon,

Je dois corriger conduisait "à la recherche d'une fonction  pour l'équation homogène";
nous pouvons obtenir des termes   x^k  ,k négatif.  (ici ,dans l'énoncé on avait R* vers R ).


Alain

Posté par
Etcha66
re : Équation d'Euler 20-11-16 à 15:12

alainpaul @ 20-11-2016 à 14:38

Bon après-midi,

L'énoncé supposait-il un 'type' de résolution?
Ma remarque précédente conduisait à la recherche d'un polynôme pour l'équation homogène.

Cette équation différentielle 2è ordre est équivalente à  un système d'équations du 1er ordre:   xy'(x) + \beta y(x)=g(x)
 \\ xg'(x)+\alpha g(x)=c(x)

Avec:a=\alpha+\beta+1 ,b=\alpha \beta


Je comprends un peu mieux en effet. Le système me paraît une bonne idée.
Toutefois, je ne vois pas à quoi correspondent a et b.

Posté par
Etcha66
re : Équation d'Euler 20-11-16 à 15:33

Merci pour vos réponses !
Je comprends bien pour l'équation homogène mais je ne vois pas comment faire pour la solution particulière.

Posté par
luzak
re : Équation d'Euler 20-11-16 à 17:24

Tu avais une solution ici :

etniopal @ 19-11-2016 à 14:04

l'application z : t\mapsto  y (e^t) est aussi  2 fois dérivable  et vérifie z''(t) - 2z '(t) - 3z(t) = 3 + te^{2t} pour tout réel t .

La solution de l'équation homogène est t\mapsto a\,e^{-t}+b\,e^{3t} et une solution particulière à chercher de la forme z(t)=\alpha+e^{2t}(\beta t+\gamma)
Maintenant tu peux encore dire : "connais" ou "pas vu" !

Tu trouveras (sauf erreur) \alpha=3,\;\beta=\dfrac{-1}3,\;\gamma=\dfrac{-2}9 et tu reviens à la variable initiale en utilisant x=e^t

Posté par
Etcha66
re : Équation d'Euler 20-11-16 à 19:35

Merci beaucoup !

Posté par
alainpaul
re : Équation d'Euler 22-11-16 à 09:59

Bonjour,

Hors champ: j'aimerais savoir  ce que pense  *lusak* de mes approches moins académiques?

Merci,

Alain

Posté par
luzak
re : Équation d'Euler 22-11-16 à 14:48

alainpaul @ 20-11-2016 à 14:38


Cette équation différentielle 2è ordre est équivalente à  un système d'équations du 1er ordre:   xy'(x) + \beta y(x)=g(x)
 \\ xg'(x)+\alpha g(x)=c(x)

Avec:a=\alpha+\beta+1 ,b=\alpha \beta

Bonjour alainpaul
Difficile de répondre à ce que tu proposes sans arriver à dégager l'idée  sous-jacente à tes essais.
Il n'y a rien de faux à ce que tu écris mais je cherche en vain comment transformer une équation donnée en système de ce type. Est-ce généralisable ? Comment ?

J'ai tendance à penser paresseusement que si des mathématiciens (autrement plus qualifiés que moi) ont mis beaucoup de temps, de talent et de sueur à dégager des méthodes générales et qui me suffisent je peux me contenter d'appliquer ce qu'ils ont transmis.

Je n'ai rien contre les astuces mais si elles me paraissent trop limitées à des cas particuliers j'ai tendance à ne pas essayer de les mémoriser.
On ne se refait pas !

Posté par
alainpaul
re : Équation d'Euler 24-11-16 à 12:23

Bonjour,

Parler **d'astuces** n'est ni exact ni encourageant.


L'opérateur différentiel  correspondant:x^2D^2+(\alpha+\beta +1)xD+\alpha \betaIdpeut s'écrire comme produit de 2 facteurs commutables:
(xD+\alpha Id)\times(xD+\beta Id)

Ce qui explique le système de 2 équations du 1 er ordre.

Je reviendrai sur l'équation d'Euler,

Alain

Posté par
luzak
re : Équation d'Euler 24-11-16 à 14:54

Avant je ne voyais qu'une "astuce" et ce n'était pas une injure non plus !

Maintenant que tu éclaires avec le produit d'opérateurs différentiels cela devient compréhensible.
Je vois plutôt ...+\alpha\beta I ce qui conduirait à prendre \alpha=1,\;\beta=-3.

Pour la suite, par contre, je reste incapable d'écrire le système que tu proposes.

Posté par
alainpaul
re : Équation d'Euler 24-11-16 à 16:02

Bon après-midi,

J'avais pensé ...+\alpha \beta Id ,coquille!

pour le 'reste ' ,nous avons:\alpha+\beta+1 =-3 ,\alpha \beta=-1

nous obtenons \alpha, \beta   dans C et le système,

Alain

Posté par
luzak
re : Équation d'Euler 24-11-16 à 16:42

Si on parle bien de l'équation x^2y''-xy'-3y=... ce serait plutôt \alpha+\beta+1=-1,\;\alpha\beta=-3

Posté par
alainpaul
re : Équation d'Euler 24-11-16 à 17:06

Bon,

C'est l'âge,je me plante souvent;mais continuons ,la suite des calculs peut conduire à  la présence de termes  kx^c  ,c \in C

Je compte sur ton aide,

Alain

Posté par
etniopal
re : Équation d'Euler 24-11-16 à 17:30

alainpaul

Ce que tu proposes consiste à résoudre    deux  EDL d'ordre 1 pour résoudre sur +*   une Euler : x²y " + axy ' + by = g   .

.Avec des calculs  moins évidents que pour  une  y " + ay' + by = h  (où l'utilisation de  la factorisation de X² + aX +  b =  (X - r)(X - s)  et des opérateurs D - rI , D - sI permettent  aussi de se ramener à la résolution de 2 deux  EDL d'ordre 1 )



  

Posté par
luzak
re : Équation d'Euler 24-11-16 à 17:30

Franchement, je ne vois rien d'autre que de résoudre les équations : xy'-3y=z(x),\;xz'-z=3+x^2\ln x.
Ce qui amène, pour trouver z, à chercher des primitives  de x\mapsto 3e^{-x}+e^{-x}x^2\ln(x) : faisable mais plutôt pénible.
Ensuite il faudrait chercher des primitives de x\mapsto e^{-3x}z(x) !

Honnêtement je m'en sors beaucoup plus vite par la méthode standard de variation des constantes sur l'équation initiale.

Mais il se peut que tu aies d'autres propositions ? Je veux bien les examiner mais pas à faire des calculs chronophages !
Bien sûr je pourrais proposer à MAPLE de me chercher mes primitives mais comme ce logiciel sait résoudre les équations d'Euler, ce serait un peu de la triche...

Posté par
alainpaul
re : Équation d'Euler 24-11-16 à 18:59

Bonsoir,

A  **etniopal ** il s'agit de :y''+a[x]y'+by =. . .

A **lusak**
Calculs chronophages:peut-être.
La méthode proposée s'étend à toutes les équations d'euler :\sum_0^n a_ix^{n-i}y^{(n-i)}=h(x)

Les opérateurs différentiels se factorisent en facteurs du 1er degré  commutables.

Alain

PS:d'accord sur ta proposition Maple

Posté par
luzak
re : Équation d'Euler 24-11-16 à 22:39

1. etniopal te propose de transformer l'équation d'Euler en une équation linéaire d'ordre 2 à coefficients constants : voir un de ses posts précédents.
2. Je ne vois toujours pas l'avantage de factoriser à l'aide d'opérateurs une équation dont la résolution se fait simplement par des moyens algébriques en cherchant les racines d'un polynôme de degré n et en appliquant les résultats connus sur les équations linéaires d'ordre n, à savoir espace affine de dimension n, recherche d'une base de solutions pour l'équation homogène, méthode de variation des constantes pour l'équation complète.
3. Si tu veux une solution détaillée de l'équation considérée en utilisant ces méthodes, je suis à ta disposition.

Posté par
luzak
re : Équation d'Euler 24-11-16 à 22:44

PS : je corrige mon message de 17h30. J'ai oublié une division par x : il faut chercher une primitive de x\mapsto 3\dfrac{e^{-x}}x+e^{-x}x\ln(x). Mais il faut avouer que cela reste du même niveau de calculs.

Posté par
luzak
re : Équation d'Euler 25-11-16 à 08:31

Bonjour et désolé pour l'affreux mélange dans ma tête entre tes compositions d'opérateurs et celles proposées par etniopal.
Il n'y a pas d'exponentielle dans l'utilisation de ton système.

Plus précisément
La résolution de xz'-z=3+x^2\ln x :
z(x)=\alpha x (équation homogène)
xu'(x)x=3+x^2\ln x (variation de la constante)
donc z(x)=\alpha x+xu(x)=\alpha x-3+x^2\ln x-x^2

Ensuite pour xy'+3y=z(x) :
y(x)=\beta x^{-3} (équation homogène)
xv'(x)x^{-3}=\alpha x-3+x^2\ln x-x^2 (variation de la constante)
soit  v'(x)=\alpha x^3-3x^2+x^4\ln x-x^4 puis
y(x)=\beta x^{-3}+x^{-3}v(x)=\beta x^{-3}+\dfrac{\alpha x}4-1+\dfrac{x^2}5\,\ln x-\dfrac{6x^2}{25}

Bilan : c'est du même niveau de travail que l'utilisation directe de la variation des constantes pour l'équation d'Euler initiale.
Un plus : on reste dans l'utilisation des équations linéaires d'ordre 1 sous réserve de faire accéder des débutants à la subtilité de la composition des opérateurs.

Charge aux lecteurs éventuels de corriger les erreurs, s'il y a lieu !

Posté par
luzak
re : Équation d'Euler 25-11-16 à 09:03

Ben erreur il y a  : j'ai utilisé \alpha=-1 au lieu de \alpha=1 etc...
Tout est à refaire !

On aurait z(x)=\dfrac{\alpha}x+3+\dfrac{x^2}9\,\ln x-\dfrac{x^2}9

y(x)=\beta x^3-\dfrac{\alpha}{4x}-1-\dfrac{2x^2}9-\dfrac{x^2}3\,\ln x

Posté par
alainpaul
re : Équation d'Euler 25-11-16 à 17:07

Bonsoir,

2 remarques:

1)Les opérateurs correspondants à une équation d'Euler font partie d'un ensemble Ee ,sur celui-ci le produit  de 2 éléments vérifie O_1\in E_e ,O_2\in E_e  ; O_1\times O_2 \in E_e loi de composition interne.

2)(xD+aId)=x^{1-a} D(x^aId) ,forme intégrable.

Ton avis?

Alain

Posté par
luzak
re : Équation d'Euler 26-11-16 à 09:53

Je propose que tu laisses ce fil pour l'équation initiale et que tu en ouvres un autre si tu veux poursuivre la discussion
Bonne journée !



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