Niveau doctorat

Équation d'Euler-Lagrange

Posté par
fedia 26-06-13 à 12:49

Bonjour,

Nouveau sur ce forum, je fais appel à votre aide pour un (petit ?) problème sur lequel je bloque.

Contexte : Un véhicule doit parcourir une distance D en un temps T (départ et arrivée arrêté). Le but du problème est de minimiser le carré de sa vitesse sur ce parcours.

Problème :
Je cherche donc à minimiser : $\int\limits_{0}^T v^2(t)\, \mathrm dt$
sous contrainte : $\int\limits_{0}^T v(t)\, \mathrm dt = D$

Ne sachant pas trop comment m'y prendre, je suis tombé sur ce site : qui semble décrire exactement mon problème.

En essayant de suivre cette méthode, voilà ce que ça donne :
$y(t) = v(t)$
La fonctionnelle : $F(t,y,y') = y^2(t)$
Ma contrainte porte sur l'intégrale de : $\phi(t,y)=y(t)$

Pour tenir compte de ma contrainte, je dois donc utiliser le multiplicateur de Lagrange et ma fonctionnelle devient :
$G(t,y) = F(t,y) - \lambda \phi(t,y) = y^2(t)-\lambda y$

Mais là où je suis déjà moins sûr, c'est si j'ai le droit d'utiliser la formule de Beltrami et donc de poser:
$G(t,y) - \frac{dy}{dt} \frac{\partial G}{\partial y'}$
avec $y'=dy/dt$

et, si je peux, alors je ne sais pas quoi penser de $\frac{\partial G}{\partial y'}$
Car certes, y' n'apparaît pas directement dans l'expression de G mais ils sont pourtant bien dépendants et ça me semblerait aberrant de dire que cette dérivée partielle est nulle.

C'est également cette même dérivée qui me donne le doute sur la possibilité d'appliquer la formule de Beltrami.

En espérant avoir été assez clair ...

Merci par avance pour votre aide

Posté par re : Équation d'Euler-Lagrange 26-06-13 à 19:34

Bonjour,

Puisque $G$ ne dépend pas de $y'$ , vous avez $\frac{\partial G}{\partial y'} = 0$ .

Je trouve une vitesse constante (on aurai pu l'intuiter, même sans être physicien), et on en déduit tout le reste (en fait, surtout $\lambda$ en fonction de $T$ et $D$ ).

Posté par re : Équation d'Euler-Lagrange 27-06-13 à 09:18

Soient E l'ensemble des applications continues de [0 , T] vers . Pour (u,v) E² on pose <u,v> = ₀^T uv .
<. , .> est un produit scalaire .
Soit c et H(c) = { u E | <u,1> = c }.

Trouver m = Inf_vH(c)(<v,v>) et { v H(c) | <v,v> = m } revient à déterminer la projection orthogonale de 0 sur H(c) .

Posté par Équation d'Euler-Lagrange 27-06-13 à 10:44

bonjour,
Alban , il est faux de dire que G ne dépend pas de y' car la vitesse dépend de l'accélération il me semble!
kybjm:  une belle posture théorique sur les espaces de HILBERT dont j'attend la concrétisation car l'espace des fonctions concernées est de dimension infinie, de plus dans le cas concret du pb les fonctions doivent au minimum de classe C1 pour que l'accéleration existe et soit continue, quoi qu'on puisse accepter une discontinuité locale.
Donc sans entrer dans le domaine des séries de Fourier

On peut remarquer que $\int_0^T(v(t))^2 dt= [x(t)v(t)]_0^T-\int_0^T x(t)\gamma(t)dt=-\int_0^T x(t)\gamma(t)dt)$
étant donné que v(0)=v(T)=0

On peut penser donc que si on suppose que l'accélération est nulle sur le plus grand intervalle possible de[0,T] on s'approchera du minimum.
Si on essaye de "bricoler " des fonctions dont le graphe est symétrique par rapport à Y=T/2 et respectant la condition $\int_0^T v(t)dt=D$ et telle que v(t)=C sur [a, T-a] $a\in]0,0.5]$ et $v(t)=kt^n$ sur $[0;a-\epsilon]$   avec une complétion pour avoir la dérivabilité de v(t)
On s'aperçoit que quand n tend vers $\infty$ lintégrale $\int_0^T(v(t))²dt$ tend vers 0.
La limite de $v_n(t)$ en moyenne quadratique est la fonction 1 sur ]0,T[ et 0  en 0 et en T
On ne respecte pas alors la continuité de v.
Il me semble donc qu'il n'y a pas de solution continue au problème de fédia.

Posté par Équation d'Euler-Lagrange 27-06-13 à 11:10

re
il faut biensûr corriger la définition de ma fonction plateau $v_n(t)$ tend vers C: x--> D/T sur ]0,T[

Posté par re : Équation d'Euler-Lagrange 27-06-13 à 11:42

Merci à vous 3 pour vos réponses !

N'étant pas très brillant en math, je suis étonné de voir que vos trois réponses donnent trois méthodes très différentes pou résoudre le problème.

Alban => Ta conclusion irait dans le sens de DOMOREA : ok donc. En fait, j'avais pensé à cette solution et je pensais me tromper pour deux raisons :
1) intuitivement, ça me semblait assez absurde (bon ok, j'ai une mauvaise intuition !)
2) Une vitesse constante, en tenant compte de ma vitesse nulle au départ et à l'arrivée signifiait v(t)=0 pour t[0; T] et donc on ne respectait pas la contrainte de parcourir la distance D. (on n'avancait pas !) DOMOREA donne l'explication à ce paradoxe : la fonction idéale n'est pas continue et n'est qu'une limite vers laquelle tendre.

kybjm => J'ai bien compris l'ensemble de vos notation mais je ne comprends pas la conclusion : pourquoi cela revient à déterminer la projection orthogonale de 0 sur H(c) ?

DOMOREA =>
Vous avez corrigé deux de mes oublis, merci !
1) la condition v(0)=v(T)=0 que j'avais écris dans le contexte mais pas réécris dans le problème
2) la condition de continuité pour la vitesse

Votre approche est certainement la plus simple, ce qui me va très bien ! L'intégration par partie permet en effet de
1) transformer le problème
2) utiliser les conditions à t=0 et t=T

Mais il me semble que la suite (après l'IPP) ne repose que sur l'intuition :/

Puis-je donc finir comme le propose Alban (toujours cette histoire de dérivée qui me chagrine) ou pensez-vous que l'IPP de DOMOREA rend le problème plus simple à résoudre ? (spontanément, en écrivant ces lignes, je ne vois pas plus comment continuer pour minimiser le résultat de l'IPP :/) A moins que la seule solution pour que je m'en sorte sois de basculer dans des transformation de Fourier/Laplace ?

Posté par re : Équation d'Euler-Lagrange 27-06-13 à 12:35

Bonjour,

DOMOREA, je suis physicien, et en physique, les variables de position $q(t)$ et les variables de vitesse $\dot{q}(t)$ sont des variables indépendantes, et le lagrangien est $L(q,\dot{q},t)$ . C'est d'ailleurs ce qui permet d'écrire les équations d'Euler-Lagrange

$\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \dfrac{\partial L}{\partial q} = 0$ .

et de passer au formalisme hamiltonien.

Visiblement ici, ça n'est pas pareil. Je ne sais donc pas ce que sont les équations d'Euler-Lagrange auxquelles il est fait référence dans le titre. Je veux bien une référence.

Posté par re : Équation d'Euler-Lagrange 27-06-13 à 12:55

Alban => Alors si l'on peut considérer la position et la vitesse comme deux variables indépendantes, cela me convient tout à fait. Je pense qu'on parle bien tous de l'équation d'Euler Lagrange que vous citez.

En revanche, on ne peux pas (si je comprends bien) utiliser l'identité de Beltrami évoquée par wikipédia :

$L - \dot{q} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = C$
(identité de Beltrami, section Autres Formulations)

Car ma fonctionnelle L dépend de t.
D'un autre côté, je ne vois pas dans quelle circonstance ma fonctionne serait indépendante du temps :/

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