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equation dans C

Posté par Sim (invité) 08-09-05 à 21:34

j'ai besoin d'aide pour resoudre cette equation:

exp(4z)+(1+exp(z))4=0

je sais qu'il faut s'aider de arctan pour trouver la solution mais j'y arrive pas !!
aidez-moi siouplé !!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:equation dans C 08-09-05 à 22:01

Bonsoir Sim,
ce qu'il te faut plutot connaitre c'est une racine 4ième de -1 c'est à dire une solution de x^4=-1 il n'est pas difficile de voir que a=\frac{sqrt2}{2}(1+i) convient ( puisque a^2=i ) et ton equation devient alors:
e^{4z}=-(1+e^z)^4 ou encore (e^z)^4=(a(1+e^z))^4 ou encore \fbox{(\frac{e^z}{a(1+e^z)})^4=1} ce qui donne:
\fbox{\frac{e^z}{a(1+e^z)}\in\{\pm 1,\pm i\}}
ceci va te permettre de determiner e^z et puis pour avoir z tu utilises que \fbox{z=x+iy\\e^z=e^{x}e^{iy}}
Sauf erreur bien entendu

Posté par aparxa (invité)suggestion 08-09-05 à 22:05

Bonsoir,

une technique assez courante pour résoudre des équations avec exponentielle est la suivante.
Pose t=exp(z)
Dans ce cas
(1+1/t)^4=-1 , avec t \=0

cette équation en t se résoud bien dans C puis il faut se ramener au pb initial.

A bientôt.

Aparxa.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:equation dans C 09-09-05 à 02:17

Je termine mon post,
vu que \fbox{\{\pm 1,\pm i\}} est stable par inverse on a aussi:
\fbox{\frac{a(1+e^z)}{e^z}=a(1+e^{-z})\in\{\pm 1,\pm i\}} d'où \fbox{e^{-z}\in\{\pm\frac{1}{a}-1,\pm\frac{i}{a}-1\}} et vu que \fbox{a=e^{\frac{i\pi}{4}}\\i=e^{\frac{i\pi}{2}}\\e^{-z}=\frac{1}{e^z}} on aboutit à: \fbox{e^z=\frac{1}{-1\pm e^{\frac{i\pi}{4}}}\\e^z=\frac{1}{-1\pm e^{\frac{-i\pi}{4}}}}
et comme: \frac{1}{-1\pm e^{\frac{i\pi}{4}}}=\frac{1}{e^{\frac{i\pi}{8}}(-e^{\frac{-i\pi}{8}}\pm e^{\frac{i\pi}{8}})}=\{{\frac{e^{\frac{-i\pi}{8}}}{2isin(\frac{\pi}{8})}\\ \frac{-e^{\frac{-i\pi}{8}}}{2cos(\frac{\pi}{8})}
=\{{\frac{e^{\frac{-5i\pi}{8}}}{2sin(\frac{\pi}{8})}\\ \frac{e^{\frac{7i\pi}{8}}}{2cos(\frac{\pi}{8})}
et: \frac{1}{-1\pm e^{\frac{-i\pi}{4}}}=\frac{1}{e^{-\frac{i\pi}{8}}(-e^{\frac{i\pi}{8}}\pm e^{\frac{-i\pi}{8}})}=\{{\frac{e^{\frac{i\pi}{8}}}{-2isin(\frac{\pi}{8})}\\ \frac{-e^{\frac{i\pi}{8}}}{2cos(\frac{\pi}{8})}
=\{{\frac{e^{\frac{5i\pi}{8}}}{2sin(\frac{\pi}{8})}\\ \frac{e^{\frac{-7i\pi}{8}}}{2cos(\frac{\pi}{8})}
on voit que l'ensemble solution de notre équation est:
5$\blue\fbox{\{-ln(2sin(\frac{\pi}{8}))\pm\frac{5i\pi}{8},-ln(2cos(\frac{\pi}{8}))\pm\frac{7i\pi}{8}\}}
Sauf erreur bien entendu


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