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Équation dans C de Z^4=1

Posté par
JustHogo 11-11-17 à 16:39

Bonjour,

J'aimerais vérifier mes réponses.

1.
a. Résoudre dans C l'équation Z^4=1
b. En déduire les solutions dans C de l'équation (\frac{z-i}{z+1})^4=1
c. Vérifier que pour tout nombre complexe différent de 1, \frac{z^4-1}{z-1}=z^3+z^2+z+1. En déduire les solutions dans C de l'équation : (\frac{z-i}{z+1})^3 + (\frac{z-i}{z+1})^2 + (\frac{z-i}{z+1}) +1 = 0

a) S=({1;-1;i;-i})
b) S=({0;-1+i;\frac{-1}{2}+\frac{-1}{2}i})
c) on remplace z^4 - 1 par (z-1)(z+1)(z-i)(z+i) le (z-1) au dénominateur s'annule, il reste (z+1)(z-i)(z+i) on développe et on trouve bon.
Après, on pose Z=\frac{z-i}{z+1} On a Z^3+Z^2+Z+1=0
Or on a vu juste avant que Z^3+Z^2+Z+1=0 c'était (z+1)(z-i)(z+i)
donc S=(-1;i;-i) c'est sur ce point où je ne suis pas sûr, compte tenu quand remplaçant je n'obtient pas 0.

Posté par
PLSVUre : Équation dans C de Z^4=1 11-11-17 à 16:51

Bonjour,

est sur ce point où je ne suis pas sûr, compte tenu quand remplaçant je n'obtiens
pas 0.
  c'est là que tu fais des erreurs de calculs.

Posté par
JustHogore : Équation dans C de Z^4=1 11-11-17 à 16:56

Comment ça ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation dans C de Z^4=1 11-11-17 à 16:58

Bonjour,
Je crois qu'il y a une erreur est dans 1)b) : -1/2 + (1/2) i et pas -1/2 - (1/2) i .

compte tenu qu'en remplaçant

Posté par
JustHogore : Équation dans C de Z^4=1 11-11-17 à 16:59

Oui j'ai copier collé quand j'ai créer le poste mais c'est bien + 1/2i et pas -1/2.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation dans C de Z^4=1 11-11-17 à 17:07

Citation :
on a vu juste avant que Z^3+Z^2+Z+1=0 c'était (z+1)(z-i)(z+i)

C'est Z et pas z : (Z+1)(Z-i)(Z+i)

Posté par
Jezebethre : Équation dans C de Z^4=1 11-11-17 à 17:07

Bonjour

A mon avis erreur de calcul pas plus loin qu'à la b). (dernière solution...)

Posté par
JustHogore : Équation dans C de Z^4=1 11-11-17 à 17:12

Pour la b) S=(0;-1+i;\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}i) J'avais fait une faute de frappe lors de la création du poste.

Donc pour la c vu que c'est (Z+1)(Z+i)(Z-i), je remplace Z par \frac{z-i}{z+1}

Et je reprend donc les solutions du b) ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation dans C de Z^4=1 11-11-17 à 17:23

Oui

Posté par
JustHogore : Équation dans C de Z^4=1 11-11-17 à 17:27

Merci beaucoup pour votre aide.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation dans C de Z^4=1 11-11-17 à 18:32

De rien, et à une autre fois sur l'île


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