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Equation dans un corps fini (polynome)

Posté par
Scaramouche 07-04-18 à 12:10

Bonjour à tous, je rencontre le problème suivant.

Soit le corps:

\mathbb{K} = \frac{(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})[x]}{x^3+x+4}

Je dois montrer que dans \mathbb{K} l'élément x+2 vérifie:

y^{13}+y^{11}+10y+6=0

En utilisant le morphisme de Frobenius je trouve que:

(x+2)^{11}=x^{11}+2^{11}= x^{11}+2^{10}.2 = x^{11}+2

Ainsi j'ai:

(x+2)^{13}+(x+2)^{11}+10(x+2)+6

= (x+2)^{13}+x^{11}+2 +10x+4

Mais après mes tentatives pour résoudre l'équation ne mène à rien, je demande donc votre aide pour m'indiquer la marche à suivre.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
carpediemre : Equation dans un corps fini (polynome) 07-04-18 à 12:59

salut

il me semble que (x + 2)^{13} = (x + 2)^{11}(x + 2)^2 ...

Posté par
Scaramouchere : Equation dans un corps fini (polynome) 07-04-18 à 15:38

Merci, j'ai bien essayé d'utiliser ça mais je tombe dans une impasse.

J'ai donc:

= (x+2)^{13}+x^{11}+2 +10x+4
=(x+2)^{2} (x+2)^{11}+x^{11}+2 +10x+4
=(x^2+4x+4) (x^{11}+2)+x^{11}+2 +10x+4
=(x^2+4x+5) (x^{11}+2)+10x+4
=x^{13}+4x^{12}+5x^{11}+2x^2+8x+10+10x+4
=x^{13}+4x^{12}+5x^{11}+2x^2+7x+3

J'ai cru comprendre que dans \mathbb{Z} je pouvais poser x^3=-x-4

J'ai obtenue les calculs suivant mais qui ne donne rien de bon et j'ignore ou je fais une erreur, merci de m'éclairer si possible.

Equation dans un corps fini (polynome)

Posté par
carpediemre : Equation dans un corps fini (polynome) 07-04-18 à 15:50

effectivement

si E = (Z/11Z)[x] et K = E/(x^3 + x + 4)

alors dans K on a x^3 + x + 4 = 0

puisque K =est l'ensemble des classes de polynomes modulo x^3 + x + 4 = P(x)

donc la division euclidienne de tout polyome T de E on a T = PQ + R

et donc cl(T) = cl(R) et donc cl(P) = 0

Posté par
boninmire : Equation dans un corps fini (polynome) 07-04-18 à 15:51

Il est difficile de vérifier tous tes calculs.
Tu sais que dans ce corps x3+x+4=0 (puisque c'est un quotient d'un anneau par ce polynôme). Par ailleurs tu peux réduire tous les coefficients modulo 11.  Donc il te faut reprendre les calculs des fortes puissances en abaissant ensuite systématiquement les degrés en utilisant x3=-x-4.

Posté par
Scaramouchere : Equation dans un corps fini (polynome) 07-04-18 à 18:33

Je ne parviens pas à trouver où je fais une erreur, j'ai donc:

=x^{13}+4x^{12}+5x^{11}+2x^2+7x+3
=x(x^3)^4+4(x^3)^4+5x^2(x^3)^3+2x^2+7x+3
=x(-x-4)^4+4(-x-4)^4+5x^2(-x-4)^3+2x^2+7x+3
=(x+4)^5-5x^2(x+4)^3+2x^2+7x+3
=x^5+9x^4+6x^3+2x^2+4x+1-5x^2(x^3+x^2+4x+9)+2x^2+7x+3
=x^5+9x^4+6x^3+2x^2+4x+1+6x^5+6x^4+2x^3+10x^2+2x^2+7x+3
=7x^5+4x^4+8x^3+3x^2+4
=7x^2(-x-4)+4x(-x-4)+8(-x-4)+3x^2+4
=-7x^3-28x^2-4x^2-16x-8x-32+3x^2+4
=4x^3+5x^2+7x^2+6x+3x+1+3x^2+4
=4x^3+4x^2+9x+5
=4(-4-x)+4x^2+9x+5
=6+7x+4x^2+9x+5
=4x^2+5x

J'ai vérifié plusieurs fois et je ne vois pas ou j'ai pu faire des erreurs, si quelqu'un ici à l'œil plus perspicace que le miens je lui serais reconnaissant de m'aider.

Posté par
carpediemre : Equation dans un corps fini (polynome) 07-04-18 à 19:10

totalement illisible ...

ensuite le calcul en ligne est autorisé voire même conseillé et sauter des lignes rendrait le tout lisible ...

Posté par
Scaramouchere : Equation dans un corps fini (polynome) 07-04-18 à 19:19

Désolé, je reposte.

=x^{13}+4x^{12}+5x^{11}+2x^2+7x+3

=x(x^3)^4+4(x^3)^4+5x^2(x^3)^3+2x^2+7x+3

=x(-x-4)^4+4(-x-4)^4+5x^2(-x-4)^3+2x^2+7x+3

=(x+4)^5-5x^2(x+4)^3+2x^2+7x+3

=x^5+9x^4+6x^3+2x^2+4x+1-5x^2(x^3+x^2+4x+9)+2x^2+7x+3

=x^5+9x^4+6x^3+2x^2+4x+1+6x^5+6x^4+2x^3+10x^2+2x^2+7x+3

=7x^5+4x^4+8x^3+3x^2+4

=7x^2(-x-4)+4x(-x-4)+8(-x-4)+3x^2+4

=-7x^3-28x^2-4x^2-16x-8x-32+3x^2+4

=4x^3+5x^2+7x^2+6x+3x+1+3x^2+4

=4x^3+4x^2+9x+5

=4(-4-x)+4x^2+9x+5

=6+7x+4x^2+9x+5

=4x^2+5x

Posté par
carpediemre : Equation dans un corps fini (polynome) 07-04-18 à 19:33

je travaillerai avec méthode !!

donc je commencerai par calculer/simplifier (x + 2)^{11} = (x + 2)^2[(x + 2)^3]^3

ensuite je continuerai par (x + 2)^{13} = (x + 2)^2(x + 2)^{11}

et enfin je calculerai (x + 2)^{13} + (x + 2)^{11} + 10(x + 2) + 6


car même après cet effort (et je t'en remercie) cette suite de calcul est ""horrible" et je ne vais surement pas faire l'effort de chercher une erreur dans une botte de foin

Posté par
jsvdbre : Equation dans un corps fini (polynome) 08-04-18 à 13:06

Bonjour
Je conserve.
Pensez à des relations de récurrence.

Posté par
ThierryPomare : Equation dans un corps fini (polynome) 08-04-18 à 16:19

Bonjour,

Soit X une indéterminée. Supposons le polynôme X^3+X+4 irréductible dans (\Z/11\,\Z)[X]. L'on a

\Bbb{K}=\dfrac{(\Z/11\,\Z)[X]}{\left(X^3+X+4\right)}\mbox{ et }\pi:(\Z/11\,\Z)[X]\to\Bbb{K}\mbox{, avec }\pi(X)=\alpha

Partant,

\Bbb{K}=\left\{\begin{array}{c|c}a\,\alpha^2+b\,\alpha+c&(a,\,b,\,c)\in\Z/11\,\Z\times\Z/11\,\Z\times\Z/11\,\Z\end{array}\right\}

Il est alors manifeste que la lettre x joue deux rôles distincts dans ton énoncé. Quel est donc l'énoncé exact ?

Posté par
carpediemre : Equation dans un corps fini (polynome) 08-04-18 à 16:37

bof .. pas d'accord ...

on considère le corps k = Z/11Z

soit x une indéterminée et on considère l'anneau Z/11Z[x] des polynomes en x à coefficients dans le corps Z/11Z

on considère le polynome P(x) = x^3 + x + 4 de k[x]

on considère l'anneau quotient K = k[x]/(P) soit l'ensemble des classes modulo P (et ce quelle que soit la nature de P : irréductible ou non)

alors x + 2 est un élément de K

où évidemment on ne distingue pas l'élément x + 2 de k[x] de sa classe dans K ...


tu as évidemment raison mais trop de rigueur conduit à un rigorisme paralysant l'action ...

Posté par
carpediemre : Equation dans un corps fini (polynome) 08-04-18 à 16:39

si la lettre x joue deux rôles différents alors il en est de même des lettres a, b, c vu comme éléments de k ou de k[x] ou de K

Posté par
boninmire : Equation dans un corps fini (polynome) 08-04-18 à 21:35

Une piste, peut-être (j'ai tourné les calculs dans tous les sens, mais pour l'instant je n'y arrive pas, je ne trouve ni tes résultats, ni 0): le polynôme X3+X+4 est nul dans K, il est donc nul pour toute valeur, x mais aussi x+2.
Donc (x+2)3=-(x+2)-4=-x-6=10x+5
Par ailleurs (x+2)3=x3+6x2+12x+8
=(-x-4)+6x2+12x+8=6x2+4
Donc 6x2+4=10x+5
6x2=10x+1
or 6 est inversible, son inverse est 2 d'où
x2=9x+2

Tous les calculs peuvent donc être ramenés au degré 1, je n'ai pas le courage de tout reprendre.

Posté par
ThierryPomare : Equation dans un corps fini (polynome) 08-04-18 à 21:56

Attention : Suite à mon message du 08-04-18 à 16:19, vu que \pi est un morphisme surjectif d'anneaux, alors

\pi\left(X^3+X+4\right)=\alpha^3+\alpha+4=0_{\Bbb{K}}

de sorte que, pour tout P\in\left(X^3+X+4\right),

\pi(P)=0_{\Bbb{K}}

Posté par
jsvdbre : Equation dans un corps fini (polynome) 09-04-18 à 03:02

Je reprends mon idée de récurrence avec les notations de ThierryPoma.

Supposons que l'on ait \blue \alpha ^n = a_n\alpha^2+b_n\alpha + c_n, \red ~a_n,b_n,c_n \in \mathbb F_{11}, alors on aura \blue \alpha ^{n+1} = a_{n+1}\alpha^2+b_{n+1}\alpha + c_{n+1}, \red ~a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1} \in \mathbb F_{11}

Or \blue \alpha^{n+1}=\alpha.\alpha^n donc \blue \alpha^{n+1}=a_n\alpha^3+b_n\alpha^2 + c_n\alpha.

Mais comme \blue \alpha^3 = 10\alpha+7, on a :

\blue \alpha_{n+1}=b_n\alpha^2+(10a_n+c_n)\alpha^2 + 7a_n.

Il vient donc la récurrence suivante :

\blue \bf {a_0 = 0,~~b_0=0,~c_0=1}
\blue \bf {a_1 = 0,~~b_1=1,~c_1=0}
\blue \bf{a_2 = 1,~~b_2=0,~c_2=0}
\blue \bf{a_3 = 0,~~b_3=10,c_3=7}
\blue \bf{a_{n} = b_{n-1},~b_n=(10a_{n-1}+c_{n-1}),~c_n=7a_{n-1},~n\geq 4} ou encore \blue \bf {\begin{pmatrix}a_n\\ b_n\\ c_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 &1  &0 \\ 10 &0  &1 \\ 7 &0  &0 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{n-1}\\ b_{n-1}\\c_{n-1}\end{pmatrix}}

Maintenant, ce l'on souhaite voir c'est que si on pose \beta = \alpha + 2 alors \beta^{13}+\beta^{11}=\beta+5.

On montre sans difficulté que les éléments de l'ensemble \{1;\beta;\beta^2\} sont \mathbb F_{11}-linéairement indépendants dans le \mathbb F_{11}-ev \mathbb K.

On reprend alors la récurrence ci-dessus avec le fait que :

\beta ^3 = (\alpha+2)^3 = \alpha^3 + 6\alpha^2 + \alpha + 8 = 6\alpha^2+4 = 6\beta^2+9\beta+6

Il vient, si \beta^n = i_n\beta^2 + j_n\beta + k_n :

\blue \bf {i_0 = 0,~j_0=0,k_0=1}
\blue \bf {i_1 = 0,~j_1=1,k_1=0}
\blue \bf {i_2 = 1,~j_2=0,k_2=0}
\blue \bf {i_3 = 6,~j_3=9,k_3=9}

\beta^{n+1}=i_n\beta^3+j_n\beta^2+k_n\beta

\beta^{n+1}=i_n(6\beta^2+9\beta+6)\beta+j_n\beta^2+k_n\beta

\beta^{n+1}=(6i_n+j_n)\beta^2+(9i_n+k_n)\beta+6i_n\beta

\blue \bf {i_{n} = 6i_{n-1}+j_{n-1},~j_n=(9i_{n-1}+k_{n-1}),~k_n=6i_{n-1},~n\geq 4} ou encore : \begin{pmatrix}i_n\\ j_n\\ k_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 &1  &0 \\ 9 &0  &1 \\ 6 &0  &0 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}i_{n-1}\\ j_{n-1}\\ k_{n-1}\end{pmatrix}

On pose \mathfrak I_n = \begin{pmatrix}i_n\\ j_n\\ k_n\end{pmatrix}~, A = \begin{pmatrix}6 &1  &0 \\ 9 &0  &1 \\ 6 &0  &0 \\ \end{pmatrix} et on a :

\mathfrak I_n = A\mathfrak I_{n-1} pour n \geq 4

D'où  \mathfrak I_{11} = A^8\mathfrak I_3 \text{ et }\mathfrak I_{13} = A^{10}\mathfrak I_3 et enfin \mathfrak I_{11} + \mathfrak I_{13} = (A^8+A^{10})\mathfrak I_3

Malheureusement, le calcul donne \mathfrak I_{11} +\mathfrak I_{13} = \begin{pmatrix}4\\ 1\\ 0\end{pmatrix} alors qu'il est attendu \mathfrak I_{11} + \mathfrak I_{13} = \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 5\end{pmatrix}

Ci-dessous l'extrait de feuille excel servant au calcul :
- en première colonne, n va de 0 à 13 ( et en fait, je suis allé jusqu'à 108)
- pour les trois colonne suivantes, on lit les coefficients de \beta^n. Exemple : \beta^7 = \beta^2+9\beta +6
- les trois colonnes suivantes donnent \beta^n + \beta^{n-2} dans la base \{1;\beta;\beta^2\}

Pour mémoire, vous notez que \red \bf{\beta^{108} + \beta^{106} + 10\beta + 6 =0}

Equation dans un corps fini (polynome)

Posté par
luzakre : Equation dans un corps fini (polynome) 09-04-18 à 08:57

Bonjour jsvdb
Ton "Malheureusement," montre qu'il doit y avoir une erreur d'énoncé car je trouve aussi par le procédé (x+2)^{13}+(x+2)^{11}=(x+2)^{11}(1+x^2+4x+4)=(x^{11}+2^{11})(x^2+4x+5) que c'est une expression avec des x^2 qui ne simplifient pas...

Posté par
jsvdbre : Equation dans un corps fini (polynome) 09-04-18 à 11:24

Bonjour luzak.
A vue de nez, comme ça, je dirai que c'est pas évident puisqu'il faut aller chercher le fait que \alpha^{11} = 7\alpha^2+7\alpha+1

\begin{aligned}(\alpha+2)^{13}+(\alpha+2)^{11} &=(\alpha+2)^{11}(1+\alpha^2+4\alpha+4)=(\alpha^{11}+2)(\alpha^2+4\alpha+5) \\ & = (7\alpha^2+7\alpha+3)(\alpha^2+4\alpha+5) \\ & = 7\alpha^4+2\alpha^3+3\alpha+7 \\ & = 7(10\alpha^2+7\alpha)+2(10\alpha+7)+3\alpha+7 \\ & \texttt{ Ce n'est qu'ici qu'on s'aperçoit que le coef en }\alpha^2\texttt{ ne sautera pas.}\\ &= 4\alpha^2+6\alpha+10 \\ & = \mathbf 4(\alpha+2)^2+\mathbf 1 (\alpha+2)+ \mathbf 0\end{aligned}

Ce qui rejoint bien \mathfrak I_{11} +\mathfrak I_{13} = \begin{pmatrix}4\\ 1\\ 0\end{pmatrix}.

Erreur et bon résultat réel confirmés. Mais restons positifs, ça nous a permis une bonne dose de recherche et de travail, ce qui n'est jamais mauvais.

Posté par
carpediemre : Equation dans un corps fini (polynome) 09-04-18 à 20:46

on peut faire tout ce qu'on veut ... mais

carpediem @ 07-04-2018 à 19:33

je travaillerai avec méthode !!

donc je commencerai par calculer/simplifier (x + 2)^{11} = (x + 2)^2[(x + 2)^3]^3

ensuite je continuerai par (x + 2)^{13} = (x + 2)^2(x + 2)^{11}

et enfin je calculerai (x + 2)^{13} + (x + 2)^{11} + 10(x + 2) + 6


car même après cet effort (et je t'en remercie) cette suite de calcul est ""horrible" et je ne vais surement pas faire l'effort de chercher une erreur dans une botte de foin
suffit amplement puisque dans le corps K x^3 + x + 4 = 0 \iff x^3 = -x - 4

et évidemment toute puissance de x se ramène à considérer la combinaison linéaire a + bx + cx^2

d'autre part je ne vois pas l'intérêt de changer x en \alpha ...


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