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Niveau terminale
Equation dans ZxZ
Posté par Ehrmantraut
Bonsoir,
On me demande de déterminer les solutions (x,y) dans ZxZ de l'équation où Z est l'ensemble des entiers.
y²-2=3x²
Je ne sais pas si mon idée est ok mais voici ce que j'ai effectué (plus qu'à rédiger rigoureusement!):
3x²-y²=-2
Si je travaille modulo 3:
3x² toujours congru à 0 mod 3 car multiple de 3.
-2 est congru à 1 mod3
Pour y²:
y congru à 0 mod 3 => y² congru à 0 mod 3
y congru à 1 mod 3 => y² congru à 1 mod 3
y congru à 2 mod 3 => y² congru à 1 mod 3
2 cas à envisager:
Si y² congru à 0 mod 3 alors:
3x²-y² congru 0 mod 3 pas possible car il faut congru à 1 mod 3.
Si y² congru à 1 mod 3 alors:
3x²-y² congru à 2 mod 3 pas possible car il faut congru à 1 mod 3.
===> Aucune solution dans ZxZ?
Etes-vous ok avec mon raisonnement? (J'ai juste eu un cours de 4h en arithmétique, je gère pas encore des masses).
Merci et passez une excellente soirée
Bonjour
C'est bien l'idée, mais tu fais trop compliqué.
En effet, si (x,y) est solution, on doit avoir ou encore
, ce qui est impossible.
Bonjour,
Je trouve qu'après seulement 4h de cours, tu te débrouilles bien Ehrmantraut 
Une remarque :
Que ce soit x ou x2 ne change rien.
@flight,
Je ne vois pas bien l'intérêt de ton message 
Bonsoir Sylvieg
l'idée derrière ma remarque et que est que 3x²+2 est forcement dans N pour x dans Z et que si y²= 3x²+2 alors cela est possible que si 3x²+2 est un carré parfait , mais cela n'est pas le cas , je ne vois pas ce qu'il y a d'etonnant ...
Bonjour,
Résolution par la méthode suggérée par flight, juste pour info.
C'est plus long ... mais cela aboutit
y²-2=3x² (avec x et y dans ZxZ)
y² = 3x² + 2 ... donc solution(s) ssi 3x²+2 est un carré parfait
a) si x est pair : x = 2n (n dans Z)
y² = 12n² + 2 ... qui impose que y est pair, posons alors y = 2k (k dans Z)
4k² = 12n² + 2
2k² = 6n² + 1
Le membre de gauche est pair et le membre de droite est impair --> impossible
b) si x est impair : x = 2n+1 (n dans Z)
y² = 3*(4n²+4n+1)+2
y² = 12n² + 12n + 5 ... qui impose que y soit impair, posons alors y = 2k+1 (k dans Z)
4k²+4k+1 = 12n² + 12n + 5
4k²+4k = 12n²+12n+4
k²+k=3n²+3n+1
k(k+1)=3n²+3n+1
Le membre de gauche est pair et le membre de droite est impair --> impossible
Donc, pas de solution.
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Peut-être Fly a-t-il pensé à une résolution plus directe.