Bonjour, je trouve quelques problèmes dans cette exercice:
P est le polynôme défini sur C par P(z)= z^4+z^3+6z^2+z+5
1) Calculer P(i)
2) En déduire une factorisation de P
3) On appelle Q le polynôme de degré 3 obtenu dans la factorisation de la question 2. Montrer que -i est racine de Q, et en déduire une factorisation de Q.
4) En déduire une nouvelle factorisation de P, puis déterminer l'ensemble des racines de P.
Voici ce que j'ai fait:
1) P(i)=0
2) P(z)=z(z^3+z^2+6z+1)+5
3) Je ne comprend pas de quel Q parle l'énoncé . Si quelqu'un peut m'éclairer de quel polynôme de degré 3 il s'agit dans ce contexte, car il y'a aussi (z+i)Q(z)
On a donc P(z)= (z-i) Q(z)
Soit Q(z) un polynôme de degré 3 alors:
P(z)=(z-i)(az^3+bz^2+cz+d)
Q(z)=(az^3+bz^2+cz+d) ?
Je trouve p(z)= az^4+z^3(b-ai)+z^2(c-bi)+z(d-ci)-di.
Par identification:
a=1
b-ai=1
c-bi=6
d-ci=1
-di=5
Oui, mais il faudrait vérifier la dernière égalité.
Vous avez 5 équations, mais seulement 4 inconnues.
Lorsque je vérifie la dernière égalité je trouve quelque chose d'incohérent avec ce que j'ai trouvé pour d. Comment faire s'il vous plaît ?
Non, c'est bien cohérent
Dans la dernière, on trouve bien .
On multiplie les deux membres par.
En reportant dans la quatrième,
.
Elle est bien vérifiée.
D'accord, et pour la question 4 je comprends pas, j'ai trouvé que z^3+(1+i)z^2+(5+i)z+5i=az^3+z^2(b+ai)+z(c+bi)+ci
C'est là factorisation de Q. Je suis perdue :v
Oui, mais dans la question 4 on demande une factorisation de P, celle que vous aviez écrit est celle de Q(z) non? C'est pas la même chose du coup?
On a au départ , maintenant si vous avez
on a donc
On a bien une factorisation de P. Il reste aussi à factoriser le trinôme du second degré.
Bonsoir,
puisque tu as terminé, je me permets de donner une autre méthode, mais elle n'était pas demandée.
On utilise uniquement la factorisation (mais cette méthode n'est pas aussi générale que celle que tu as utilisée)
en factorisant on peut écrire
qui peut s'écrire
il reste à factoriser 2 expressions de la forme
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