Bonsoir  
Vous avez montré que

Par conséquent, le polynôme est factorisable par et non.

On a donc P(z)= (z-i) Q(z)

Soit Q(z) un polynôme de degré 3 alors:
P(z)=(z-i)(az^3+bz^2+cz+d)

Q(z)=(az^3+bz^2+cz+d) ?

Exactement, vous avez récupéré le polynôme Q, mais il faudra déterminer a, b, c et d.

Je trouve p(z)= az^4+z^3(b-ai)+z^2(c-bi)+z(d-ci)-di.

Par identification:
a=1
b-ai=1
c-bi=6
d-ci=1
-di=5

Que valent a, b, c et d ?

a=1
b=1+i
c=5+i
d=5i

Je trouve

Oui, mais il faudrait vérifier la dernière égalité.  
Vous avez 5 équations, mais seulement 4 inconnues.

Lorsque je vérifie la dernière égalité je trouve quelque chose d'incohérent avec ce que j'ai trouvé pour d. Comment faire s'il vous plaît ?

Ah bah si, -di x(i)=5x(i)
d=5i

Non, c'est bien cohérent

   Dans la dernière, on trouve bien .

On multiplie les deux membres par.

En reportant dans la quatrième,

.

Elle est bien vérifiée.

Et donc Q(z)= z^3+((1+i)z)^2+((5+i)z)+5i?

Lorsque je remplace par -i je trouve pas 0..
Je comprends pas

Ok, mais je ne comprends pas comment (1+i)(-i)^2=-1-i

D'accord, et pour la question 4 je comprends pas, j'ai trouvé que z^3+(1+i)z^2+(5+i)z+5i=az^3+z^2(b+ai)+z(c+bi)+ci

C'est là factorisation de Q. Je suis perdue :v

On refait la même chose

Oui, mais dans la question 4 on demande une factorisation de P, celle que vous aviez écrit est celle de Q(z) non? C'est pas la même chose du coup?

On a au départ ,  maintenant si vous avez



on a donc

On a bien une factorisation de P. Il reste aussi à factoriser le trinôme du second degré.

Merci pour votre aide, bonne soirée. Tout a été compris comme de l'eau de roche

De rien
Bonne fin de soirée  ou bonne nuit

J'ai trouvé 3 solution : i ; -1-i x racine 19/2 et -1+i x racine 19/2

Bonsoir,

puisque tu as terminé, je me permets de donner une autre méthode, mais elle n'était pas demandée.

On utilise uniquement la factorisation (mais cette méthode n'est pas aussi générale que celle que tu as utilisée)



en factorisant on peut écrire



qui peut s'écrire



il reste à factoriser 2 expressions de la forme

Degré 4 donc 4 racines   pour le polynôme.

Vous en aviez déjà 2 :  i et -i et vous ajoutez les 2 autres